ABC

/Â2-+-B*-hG»

/A«-^Bi-+-Gî

^Aî^B«-i-C«

nous adopterons, pour direction positive de la normale, celle qui est définie par les formules précédentes. Si R est un rayon de courbure principal, pris avec son signe, les coordonnées du centre de courbure correspondant sont

Y = >-upB, Z = ^-hpG,

X = jr-+- pA,

où Ton a posé

Si le point (^, y, ^) décrit la ligne de courbure tangente à la section normale principale dont le rayon de courbure est R, nous savons que le point (X, Y, Z) décrit une courbe F qui est tangente à la normale à la surface. On doit donc avoir

dx -*- p d\

■ Xdp dy -{- p dB -h B dp __ df -i- p dC ^ " G"

Cd?

OU, en appelant rfp 4- K la valeur commune de ces rapports,

(4o) dx-\-pdX — \K=zo, ^/H-prfB — BK = o, dz-i-pdC — CK^: o.

En éliminant p et K entre ces trois relations, on retrouve bien l'équation différentielle (Sg) des lignes de courbure; mais, si rou remplace dx, dy^ dz, rfA, rfB, dC par

Ox Ou

dx 'ôv

dv\

du ■

dC Ov

respectivement, puis qu'on élimine du, dv et K, on parvient à Téquation suivante qui détermine p,

Ox 0\ Ou ' Ou

Ox ^ 0.\ Ov '^^ 1)^

Ov on

Oy OB

du ^ Ou

Ov ^ Ov

Oz OC

Ou ^ Ou

Oz OC Ov ~^^ Ov