III. — LIGNES DB COURBURE

R Il suffira d'y remplacer p par —-. == pour avoir Téquation

du second degré qui donne les rayons de courbure principaux. Les équations (Sg) et (4o) permettent de répondre à un certain nombre de questions dont on s'est déjà occupé; ainsi, pour qu'un point de la surface soit un point parabolique, il faut et il suffit que le coefficient de p^ dans Téquation (4i) soit nul. Pour qu'un point soit un ombilic, il faut que l'équation (Sg) soit vérifiée identiquement, quels que soient du et dv.

Cherchons encore, comme apph'cation, les rayons de courbure princi paux de Thélicoïde droit à plan directeur. On a, dans ce cas, en modifiant un peu les notations employées plus haut,

X — U COSf,

u sint',

z = nVy

A = a sin(^,

-- acosï',

et l'équation (40 se réduit à

ci^ — f- m' d'où l'on tire R = d: • Les rayons de courbure principaux de

l*hélicoïde sont donc égaux et de signes contraires.

250. Théorème de Joachimsthal. — On peut quelquefois trouver par des considérations géométriques les lignes de courbure de certaines surfaces. Ainsi, il est à peu près évident que les lignes de courbure d'une surface de révolution sont les méridiens et les parallèles de cette surface, car ces courbes sont tangentes en chacun de leurs points à l'un des axes de l'indicatrice. Comme vérification, nous remarquerons que les normales le long d'un méridien forment un plan, et les normales le long d'un parallèle un cône de révolution, c'est-à-dire des surfaces développables.

Sur une surface développable, une première famille de lignes de courbure est formée des génératrices. La seconde famille se compose des trajectoires orthogonales des génératrices, c'està-dire des développantes de l'arête de rebroussement (n** 231); elles s'obtiennent par une quadrature. Si l'on connaît l'une d'elles, on peut en déduire toutes les autres sans quadrature. Tous ces résultats sont faciles à vérifier par le calcul.

La théorie des développées d'une courbe gauche a conduit

Joachimslhal à un théorème important, souvent utilisé dans cette théorie. Soient S, S' deux surfaces se coupant suivant une courbe C, ligne de courbure pour chacune d'elles; la normale MN à la surface S le long (le C engendre une surface développable, et la normale MN' à la surface S' le long de C engendre une autre surface développable. Or ces deux droites sont normales Tune et l'autre à la courbe C. Par suite, si deux sur/aces ont une ligne de courbure commune, elles se coupent sous un angle constant tout le long de cette ligne (n® 231 ).

Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un ang/e constant, et si la courbe d^ intersection est une ligne de courbure pour Vune déciles, elle est aussi une ligne de courbure pour la seconde. On sait en effet que, si une famille de normales à une courbe gauche C engendre une surface développable, il en est de même des normales obtenues en faisant tourner chacune d'elles d'un angle constant dans le plan normal à C.

Toute courbe plane ou sphérique est une ligne de courbure du plan ou de la sphère. On déduit donc du théorème de Joachimsthal le corollaire suivant : Pour qu^une courbe plane ou sphérique située sur une surface soit une ligne de courbure de cette surface, il faut et il suffit que la surface coupe le plan ou la sphère sous un angle constant.

231. Théorème de Dupin. — Nous avons déjà parlé à diverses reprises des systèmes triples orthogonaux (n°* 43, 146). L'origine de cette théorie remonte à un théorème célèbre, dû à Dupin, que nous allons établir :

Etant données (rois familles de surfaces formant un sys^ tème triple orthogonal, Vintersection de deux surfaces de familles différentes est une ligne de courbure pour chacune d'elles.

Nous nous appuierons pour la démonstration sur la remarque suivante. Soit ¥[x, y, z) = o l'équation d'une surface tangente à l'origine au plan des xy] on a, pour les valeurs x=^y=^ z=zo^

^ = o, ^ = o, tandis que la dérivée t- n'est pas nulle si, comme

nous le supposons, l'origine n'est pas un point singulier.