LIGNES DE COURBURE

Pour que les axes Oo: et Oy coïncident avec les axes de Tindicatrice, il faut et il suffit que Ton ait à Torigine s = o. Mais la

dérivée seconde s = est fournie par la relation

d^F â^F d^F à^F ÔF

"i-^ :nr:7zP'^iTZïP9'^:T:'=^'^

ôxdjr dxdz^ df dz ^ dz^ ^^ dz

puisque/? et q sont nuls à Torigine, pour que s soit nul aussi^ il faut et il suffit que Ton ait

Cela posé, soient

les équations des trois familles du système. Les fonctions F|, F2, F3 vérifient la relation

7<•î^ dF^âF^ dJ\dF, dFj^dF^

^^^ dx dx "^ dy dy '^ dz dz """'

et deux autres relations de même forme qu'on obtiendrait en permutant circulairement les indices i, 2, 3.

Par un point quelconque M de Tespace il passe une surface de chacune des familles du système triple, et les tangentes aux courbes d'intersection de ces surfaces prises deux à deux forment un trièdre trirectangle. Pour établir le théorème de Dupin, il suffit de montrer que Tune quelconque de ces droites est un des axes de l'indicatrice pour l'une ou l'autre des surfaces du système auxquelles elle est tangente.

Imaginons pour cela que l'on ait pris le point M pour origine et les arêtes du trièdre trirectangle précédent pour axes de coordonnées, de façon que les trois surfaces du système qui passent à l'origine soient tangentes respectivement aux trois pians de coordonnées. On aura, pour x =zy = ;; = o,

{t).-- mr-' (5).<°'

(SX- mr<- (m-

SgO CHAPITRE XII. — SIBPACE8.

Pour que les axes O^ et Oy, par exemple, soient les axes de rindicalrice de la surface Fi{x^ y, ;;)=:o, il sufflt que Ton ait,

pour l'origine, ( ' j = o. Or si Ton différenlie la relation (43)

par rapport à y, en n'écrivant pas les termes qui s'annulent à l'origine, il vient

{^ii\ {^iil\ ^{^f'\ (Êiyw =o

\dxJo\àxây/o\ àz Jo\àydzJo '

ce qu'on peut encore écrire

\dxOy/o [Oyâz/Q

\ àz Jo \ àx /o

Des relations analogues à la relation (43) on tirerait de la même façon deux autres conditions qui se déduisent de la condition (44) en permutant circulairement ^, ^, z et les indices i, 2, 3,

\àx )^ \ dy Jo \ày/o \ àz A

De ces conditions (44) ^^ (4^) on déduit immédiatement

[dx'drJo" ' {àydzjo" ' [dzdxjo" '

d'où résulte le théorème énoncé.

Un exemple bien remarquable de système triple orthogonal est fourni par les surfaces homofocales du second degré (n® 147), dont l'étude a sans doute conduit Dupin au théorème général. Il résulte de ce théorème que les lignes de courbure d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde (qui avaient déjà été obtenues par Monge) sont les courbes d'intersection de cette surface et des surfaces du second degré homofocales à celle-là.

Les paraboloïdes représentés par l'équalion

p — X q — X où X est un paramètre variable, forment aussi un système triple