III. — LIGNES DE COURBURE

orthogonal, ce qui nous donne les lignes de courbure du paraboloïde. Citons encore le système triple rencontré plus haut(n**246)

La recherche des systèmes triples orthogonaux est un des problèmes les plus intéressants et les plus difficiles de la Géométrie infinitésimale. Il a fait Tobjet d'un grand nombre de Mémoires dont on trouvera les résultats résumés dans un récent Ouvrage de M. Darboux (*). Une surface quelconque S appartient à une infinité de systèmes triples orthogonaux; Tun de ces systèmes est formé par les surfaces parallèles à S et par les deux familles de surfaces développables engendrées par les normales à S le long des lignes de courbure de cette surface. Soient, en effet, O un point quelconque de la normale MN à la surface S au point M, MT et MT' les tangentes aux deux lignes de courbure C, G passant en M. La surface parallèle à S qui passe au point O a son plan tangent parallèle au plan tangent en M à S; les surfaces développables engendrées par les normales le long de la courbe C ou de la courbe C ont pour plans tangents les plans NMT et NMT' respectivement. Ces trois plans sont bien orthogonaux deux à deux.

De tout système triple orthogonal on peut déduire une infinité d'autres systèmes analogues, au moyen de la transformation par rayons vecteurs réciproques, puisque cette transformation conserve les angles. Puisque toute surface, nous venons de le voir, fait partie d'un système triple orthogonal, on en conclut, ce qu'il est aisé de vérifier, que, dans toute transformation par rayons vecteurs réciproques, les lignes de courbure de la surface transformée sont les transformées des lignes de courbure de la surface primitive,

252. Application à quelques classes de surfaces. — On s'est proposé un grand nombre de problèmes sur la détermination des surfaces dont les lignes de courbure satisfont à des conditions géométriques données à l'avance. Nous indiquerons quelques-uns des résultats les plus simples.

Cherchons d'abord toutes les surfaces dont les lignes de courbure de l'un des systèmes sont des cercles. D'après le théorème de Joachimsthal, le plan du cercle doit couper la surface sous un angle constant; il s'ensuit

( ' ) Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes ; 1898.

Sga CHAPITHB XII. — SURFACES.

que les normales à la surface en tous les points du cercle G doivent rencontrer Taxe du cercle (c'est-à-dire la perpendiculaire élevée par son centre sur le plan du cercle), en un même point 0. La sphère décrite du point O comme centre et passant par G est tangente à la surface tout le long de G; la surface considérée est donc l'enveloppe d'une sphère dépendant d'un paramètre variable. Inversement, toute surface enveloppe de sphères répond à la question, car les caractéristiques, qui sont des cercles, forment évidemment une première famille de lignes de courbure.

Les surfaces de révolution sont évidemment un cas particulier. Un autre cas intéressant est celui des surfaces canaux, ou surfaces enveloppes d'une sphère de rayon constant R dont le centre décrit une courbe arbitraire r. Les caractéristiques sont les cercles de rayon R dont le centre décrit r et dont le plan reste normal à F. Les normales à la surface sont aussi normales à la courbe F; on obtiendra donc les lignes de courbure du second système en prenant les traces sur la surface des développables engendrées par les normales à F.

Si les deux systèmes de lignes de courbure d'une surface sont des cercles, cette surface peut, d'après cela, être considérée de deux, manières différentes comme l'enveloppe d'une sphère dépendant d'un paramètre variable. Soient Si, Sj, S3 trois sphères quelconques du même système, Gj, Gs, G3 les caractéristiques correspondantes, et Mi, Ms, M3 les points de rencontre de Gi, Gf, G) avec une ligne de courbure G' du second système. La sphère S' tangente à la surface en tous les points du cercle G' est aussi tangente aux trois sphères S|, Sj, Sj aux points M|, Mj, Mj; de sorte que la surface cherchée est l'enveloppe d'une sphère variable qui reste tangente à trois sphères fixes, Gette surface bien connue est la cyclide de Dupin. M. Mannheim a démontré d'une façon élégante qu'elle était la transformée d'un tore par rayons vecteurs réciproques. Soit y le cercle orthogonal aux trois sphères Si, St, S3; si l'on effectue une transformation par rayons vecteurs réciproques en prenant pour pôle un point de y> ce cercle se change en une ligne droite 00', et les sphères Si, Sj, Ss se changent respectivement en trois sphères £1, £s, £3 orthogonales à la ligne droite 00', ayant par conséquent leurs centres sur cette droite. Soient Ci, G',, Gi les sections de ces sphères par un plan passant par 00'. G' un cercle tangent à G'i, G^, C'j, et 2' la sphère admettant G' pour grand cercle. Il est clair que, dans un mouvement de rotation autour de 00', la sphère 2' reste tangente aux trois sphères Si, 2,, 23, et l'enveloppe de 2' est le tore ayant pour méridienne le cercle G'.

Proposons-nous encore de déterminer les surfaces dont les lignes de courbure de l'un des systèmes sont des courbes planes situées dans des plans parallèles. Prenons pour plan des xy un plan parallèle aux plans des lignes de courbure, et soit

iTCOsa -h^ sina = F(a, z)

l'équation tangentielle de la section plane faite dans la surface par un plan