III. — LIGNES DE COUBBURE. SgS
parallèle au plan des xy\ F (a, z) est une fonction des deux variables a et z qui dépend de la surface considérée. Les coordonnées x^y d'un point de la surface s^obtiendront en joignante Téquation précédente la relation
r)F — ar sina-hr cosa = -— • -^ à%
Les formules qui donnent x^ y, z sont donc les suivantes
(46) ar = r cosa — -r- sina, ^ = Fsma-h — cosa, z = z\
toute surface peut être représentée par des équations de cette forme, en choisissant convenablement la fonction F (a, z). Il n*y aurait exception que pour les surfaces réglées admettant le plan 2 = 0 comme plan directeur.
Un calcul facile donne, pour les coefficients A, B, G de Féquation du plan tangent,
aF
A = cosa, B = sina, G = — -r->
ôz
de sorte que le cosinus de l'angle que fait la normale avec O^ a pour expression
Pour que les sections planes situées dans les plans parallèles au planarOj^ soient lignes de courbure, il faut et il suffit, d'après le théorème de Joachimsthal, que ces plans coupent la surface sous un angle constant, c'està-dire que V soit indépendant de a. Il faut et il suffit pour cela que ¥' {z) ne dépende que de la variable z, et par suite que F(5) soit de la forme
les fonctions cp et ij/ étant arbitraires. Les formules (46) deviennent alors
!x = <Ka)cosa — <J/'(a)sina -f-ç(^)cosa, ^^, , ^ = <l^(a) sina -+- <J/'(a)cosa -h cp(z) sina,
on obtient ainsi les surfaces les plus générales répondant à la question. On peut donner de ces surfaces la génération suivante. Les deux premières des équations (47) représentent, quand on y considère z comme constant et a comme variable, une famille de courbes qui sont les projections sur le plan ^ = o des sections de la surface par des plans parallèles au plan des xy. Or ces différentes courbes sont toutes parallèles à la courbe obtenue en faisant ^{z) = 0; d'où l'on déduit la construction suivante : on prend, dans le plan ^ = o, une courbe arbitraire et les différentes courbes parallèles à celle-là, puis on déplace chacune de G. 38
ces courbes, suivant une loi arbitraire, parallèlement à O x ; la surface engendrée par les différentes positions de la courbe variable est la surface la plus générale répondant à la question.
Ce mode de généralion peut être, corame on le voit aisément, remplacé par le suivant : Les surfaces demandées sont engendrées par une courbe plane de forme arbitraire dont le plan roule sans glisser sur un cylindre à base quelconque. Ce sont donc des surfaces moulures.
On le vérifîe facilement sur les formules (47) en étudiant les courbes planes a = const. Les deux familles de lignes de courbure sont précisément les courbes planes ^ = G et a = C.
