III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

Dans un grand nombre de questions d'Analyse, îl arrive fréquemment que Ton est conduit à changer de variables indépendantes. Il faut alors pouvoir exprimer les dérivées prises par rapport aux anciennes variables au moyen des dérivées prises par rapport aux nouvelles variables. Nous avons déjà traité un pro* blême de ce genre à propos de Tinversion. Envisageant maintenant la question à un point de vue plus général, nous allons passer en revue les problèmes qui se présentent le plus fréquemment.

31. Problème I. — Soit y une fonction de la variable indé^ pendante x. On prend une nouvelle variable indépendante t, liée à X par la relation x = ç(^); on propose d'exprimer les dérivées successives de y par rapport à x au moyen de t et des dérivées successives dey par rapport à t,

Soientj^=/(ir) la fonction considérée etF(^) = /[cp(^)] ce que devient cette fonction quand on a remplacé x par f(0- D'après la règle qui donne la dérivée d'une fonction de fonction, on a

d'où l'on tire

ce qui peut s'énoncer ainsi : pour avoir ta dérivée de y par rapport à Xy on prend la dérivée de cette fonction par rapport à tj et on la divise par la dérivée de x par rapport à t.

On obtiendra la dérivée seconde --r— en appliquant la règle

précédente à l'expression qui vient d'être obtenue pour la dérivée première

une nouvelle application de la même règle donnera la dérivée du

troisième ordre

ou, en eflectuant les calculs,

^^ y;.[?^(0]'-3^;.^-(09'(o-t-37;[cp70p-y/y'(o?"(o

Ces dérivées successives se calculeront, de proche en proche, par l'application de la même règle; d'une manière générale, la dérivée d'ordre n de y par rapport à x s'exprime au moyen de ?'(0> ?'(^)> •••» Î^^^CO ^^ ^^^ dérivées successives dey par rapport à tj jusqu'à celle d'ordre n. On peut mettre les formules précédentes sous une forme plus symétrique; désignons par rfx, dy^ d^Xj d^y, . . ., d''x, d'^y^ les différentielles successives de x et de y prises par rapport à la variable t^ et par y\ y\ . . . , y^"^ les dérivées successives de^ par rapport à x; les formules précédentes peuvent s'écrire

/ dy

dx d^y — dy d^x

^ __ d^y dx^— 3 d'^y dxd^x + ^dy(d^ x)^ — dy d^x dx " dx'i '

La variable indépendante t, par rapport à laquelle sont prises les différentielles qui figurent dans les seconds membres de ces formules, est absolument quelconque, et l'on passe d'une dérivée à la suivante par la loi de récurrence

-^ ~ dx '

OÙ le second membre est le quotient de deux différentielles.

32. Applications. — On se sert de ces formules pour étudier une courbe plane, lorsque les coordonnées d'un point de cette courbe sont exprimées au moyen d'une variable auxiliaire /,

m. — CHANGEMENTS DE VAEIABLE8. 7I

pour étudier celle courbe dans le voisinage d^un de ses points, il faut pouvoir calculer les valeurs des dérivées successives ^, y, • . . , de j^ par rapport à x pour le point considéré. Or les formules précédentes nous donnent précisément ces dérivées exprimées au moyen des dérivées successives des fonctions /(/) et o(f), sans qu'il soit nécessaire d'avoir l'expression explicite de^ en fonction de x^ ce qui pourrait être pratiquement impossible. Ainsi la première formule

^ dx-/\t)

donne le coefficient angulaire de la tangente; la valeur de y^ intervient dans un élément géométrique important, le rayon de courbure, qui a pour expression, comme nous le démontrerons plus loin,

Pour avoir la valeur de R lorsque les coordonnées j; et ^ sont données en fonction d'un paramètre /, il n'y a qu'à remplacer^ et j^ par les expressions précédentes, et il vient ainsi

dx d^y — dy d^x\'

le second membre ne renferme que les dérivées premières et secondes de j: et de y par rapport à t.

Voici, au sujet de celle question, une remarque intéressante que j'emprunte au Traité de Calcul différentiel et intégral de M. Bertrand (l. f, p. 170). Imaginons qu'en calculant un élément géométrique d'une courbe plane, dont les coordonnées x tl y sont supposées exprimées au moyen d'un paramètre ^, on ait obtenu l'expression

Y{x,y, dx, dy, d^x, d^y, ..., d^x, d"y},

toutes les différentielles étant prises par rapport à t. Puisque, par hypothèse, cet élément a une signification géométrique, sa valeur ne doit pas dépendre du choix de la variable indépendante t. Or, si l'on prend x = t, on doit faire dx = dt, d^x = d^x =. . .= d^x = o, et l'expression précédente devient

c'est le résultat que ron aurait obtenu en supposant tout d'abord que Téquation de la courbe considérée est résolue par rapport à y^ soit y = <ï>(a7). Pour remonter de ce cas particulier au cas où la variable indépendante est quelconque, il suffit de remplacer y\ y'^ y"", . . . par leurs valeurs tirées des formules (ao). En effectuant cette substitution dans

on devra donc retrouver l'expression ¥{Xy y^ dx^ dy^ d^x, d^y, . . .) d'où Ton est parti. S'il n'en est pas ainsi, on pourra affirmer que le résultat obtenu est erroné. Par exemple, l'expression

dx d*y H- dy d^x (dx^-^dy^y

ne peut avoir, pour une courbe plane, de signification géométrique indépendante du cboix de la variable; car, si l'on suppose x = tj cette exprès-

sion se réduit à j> et, en remplaçant y' et y' par leurs valeurs

tirées des formules (20), on ne retrouve pas l'expression précédente.

33. On se sert aussi fréquemment des formules (20) dans Télude des équations différentielles. Supposons par exemple que l'on veuille déterminer toutes les fonctions y d'une variable indépendante X qui satisfont à la relation

OÙ n est constant. Prenons une nouvelle variable indépendante /, en posant x := cos ^ ; on a

dy __ dt

dx — %mt

dx^ sin^t

et Féquation (21) devient, après la substitution,

Il est facile de trouver toutes les fonctions 'de t qui satisfont à

m. — CHANGBMBNTS DE VAEIABLBS. 78

celle relalioD, car on peut l'écrire, en multipliant par 2 ~^,

dy d^y ^ dy d

on doit donc avoir

''tti^^-"'''y-di = it [(S)'-^ "H = °:

a désignant une constante quelconque, et par suite,

dy dt

Le premier membre est la dérivée de arcsin— — nt; il faut donc

que cette différence soît égale à une nouvelle constante 6, et Ton a

y = a sin(nC -h b)j

ce qui peut encore s'écrire

y = \ s'mnt •+- B cos nt.

En revenant à la variable primitive x, on en conclut que toutes les fonctions de x qui vérifient la relation proposée (21) sont comprises dans la formule

^ = A sin(/i arc cosx) H- B cos(/ï arc cosar),

Ael B désignant deux constantes arbitraires.

34. Problème II. — A toute relation entre x et y^ les formules de transformation j?=/(/, ?/), y = (p(/, u) font correspondre une relation entre t et u. On propose d'exprimer les dérivées de y par rapport à x au moyen de t^ w, et des dérivées de u par rapport à t.

Ce problème se ramène immédiatement au précédent, en remarquant que les formules de transformation

nous donnent les variables primitives :r et jk exprimées au moyen

de la variable t^ si l'on imagine qu'on ait remplacé u dans ces formules par sa valeur en fonction de t, II suffira donc d'appliquer la méthode générale, en regardant toutefois x et y comme des fonctions composées de ^, la lettre u jouant le rôle d'une fonction

intermédiaire. On a d'abord

do do du dy ^dy ^dx __ dt du dt 'dx~"dt'~di~ ~d] dj du ' àt "^ du dt puis

"Sp» "" 'dt \dx) ''dt*

OU, en effectuant les calculs,

/df ^du\rd^^ ()«y du d^ /duy 0^ d* m] /d^ d^ du\ /d^f \

^y ^ \dt'^ du dtjYdt^ '^^dudt dt '^ dùAdt) '^ du dt^\ \dt~^ du dt)\dt^'^'J dx^ (d/^d/duy

\dt'*~ du dt)

D'une façon générale, la dérivée n*'"* y^'^'^ s'exprime au moyen

j- ^ A jiJL * 1 du d^u d^u

de /, u. et des dérivées -j-, -j-r-> •• •, -7— • at at^ al'*^

Supposons, par exemple, qu'on ait l'équation d'une courbe en

coordonnées polaires p =/((i>). Les formules qui donnent les

coordonnées rectangulaires d'un point sont les suivantes :

a? = pcosa), ^ = psin(o;

soient p', p", ... les dérivées successives de p prises par rapport à w, considérée comme variable indépendante. On tire des formules précédentes

dx ^ cosoi) dp — psinio^ui,

dy = slmadp -h p cosw rfw, d^x = cosit) d^p — 1 SI iHi) dit) dp — p coso) e/io*, d^y = sinw rf*p -hicosuidoi dp — p sino) rfw*,

et par suite,

dx^ H- dy^ = dp^ ■+- p« do)^,

dx d^y — dy d^x ::= idiù dp^ — p dm d^ p -{- p* rfw'. L'expression obtenue plus haut du rayon de courbure devient

R = di

pi ^^p'^-^pp"

m. — CBANGBMBKTS DB VARIABLES. 7 S

35. Transformations des courbes planes. — Imaginons qu^à tout poinl m d'un plan on fasse correspondre, d'après une construction dëtermioée, un autre point M du même plan; si l'on désigne par {x^y) les coordonnées du point m, par (X, Y) les coordonnées du point M, on a entre ces coordonnées deux relations telles que

(23) X=/(ar,^), Y = cp(:r,7).

Ces formules définissent une transformation ponctuelle; la Géométrie en offre de nombreux exemples, tels que la transformation homographique, la transformation par rayons vecteurs réciproques, etc. Lorsque le point m décrit une courbe c, le point correspondant M décrit une autre courbe C, dont les propriétés peuvent se déduire de celles de la courbe c, et de la nature de la transformation employée. Soient^', j", ..• les dérivées successives de^ par rapport à x^ et Y', Y", ... les dérivées successives de Y par rapport à X; pour étudier la courbe C, il est nécessaire de pouvoir exprimer Y', Y", ... au moyen de x^ y^y\ y"^ .... C'est précisément le problème que nous venons de traiter; on a d'abord

y, dx dx dy-^ dx âx dy ^

dx \dx ày-^ I

et ainsi de suite. On voit que Y' ne dépend que de x^ y^ y' \ si donc on applique la transformation (23) à deux courbes c, Ci, tangentes au point {x^y)^ les courbes transformées C, C| seront tangentes au point considéré (X, Y). Cette remarque permet de remplacer la courbe c par toute autre courbe tangente à celle-là, quand il s'agit seulement de trouver la tangente à la courbe transformée C.

Considérons, par exemple, la transformation définie par les formules

qui n'est autre qu'une transformation par rayons vecteurs réciproques ou inversion^ avec l'origine pour pôle. Soit m un point d'une courbe c, et M le point correspondant de la courbe C. Pour trouver la tangente à cette courbe C, nous n'avons qu'à appliquer

Fig. 5.

ce résultat de Géométrie élémentaire, que la figure inverse d'une ligne droite est un cercle passant par le pôle d'inversion.

Si nous remplaçons la courbe c par la tang^ente m/, la figure inverse de mt est un cercle passant par les deux points M et O et dont le centre A est situé sur la perpendiculaire O^ abaissée de l'origine sur mt. La tangente MT à ce cercle est perpendiculaire à AM et les angles Mm^, mMT sont égaux comme complémentaires de l'angle m Or. Les tangentes mt et MT sont donc antipa- ('allèles par rapport au rayon vecteur.

36. Transformations de contact. — Les transformations précédentes ne sont pas les plus générales qui changent deux courbes tangentes en deux autres courbes tangentes. Imaginons que de tout point m d'une courbe c on déduise un autre point M par une construction déterminée qui dépend, non seulement du point m, mais de la tangente en ce point. Les formules qui définissent cette transformation sont de la forme

^=/(^,^,y), Y = o{Xyy,y)\

et le coefficient angulaire Y' de la tangente à la courbe transformée a pour expression

^? ^ ^ v'-»- ^ v* dx dy-^ d/-^

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