III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

En général, Y' dépend des quatre variables x^ y, y, y"', si Ton applique la transformation (24) à deux courbes c, Ct tangentes en nn point (x, y)^ les courbes correspondantes C, C| auront un point commun (X, Y), mais elles ne seront pas tangentes, à moins que y n'ait la même valeur pour les deux courbes c et C| . Pour que les deux courbes C, C| soient toujours tangentes, en même temps que les courbes c, Cj, il faut et il suffit que Y' ne dépende pas de^, c'est-à-dire que les fonctions f{x^ y^ y) et f (^, y^ y') satisfassent à la condition

dy\dx ày^ ]~ Oy\dx ày^ ]'

on dit alors que la transformation considérée est une transformation de contact. Il est clair qu'une transformation ponctuelle est un cas particulier des transformations de contact (*).

Considérons, par exemple, la transformation de Legendre qui consiste à faire correspondre à un point (x, y) d'une courbe c le point M de coordonnées

on déduit de ces formules