V. ^Y xy

ce qui montre bien que cette transformation est une transformation de contact. On aura de même

"" d\ ~ ydx ~ y'

et ainsi de suite. On déduit des formules précédentes

C) Legendre et Ampère avaient donné de nombreux exemples de ces transformations. M. Sophus Lie a développé la Ihéorie générale dans différents travaux. Voir, en particulier. Géométrie der Berdhrungstransformationen; voir aussi Jacobi, Voriesungen iiber Dynamik.

yS CHAPITRE II. — FONCTIONS IMPLICITES, BTC.

ce qui prouve que la Iransformation est réciproque. Toutes ces propriétés s'expliquent aisément si Ton remarque que le point de coordonnées X.=y, Y = xy' — y est précisément le pôle de la tangente à la courbe c au point {x^y) par rapport à la parabole ^2 — 2y = o. Or, d'une manière générale, si l'on prend le pôle M de la tangente en m à une courbe c par rapport à une conique direclrice S, le lieu du point M est une courbe C dont la tangente au point M est précisément la polaire du point m par rapport à S. Il y a donc réciprocité entre les deux courbes c et G; d'ailleurs, si l'on remplace la courbe c par une autre courbe C\ tangente à c au point m, la courbe réciproque C| est tangente à la courbe C au point M.

Podaire. — Si d*un point fixe O, pris dans le plan d'une courbe c, on abaisse une perpendiculaire OM sur la tangente au point m à cette courbe, le lieu du pied M de cette perpendiculaire est une courbe G qui est dite la podaire de la première, 11 serait facile d'obtenir par le calcul les coordonnées du point M, et de vérifier que la transformation ainsi obtenue est une transformation de contact, mais on y arrive plus simplement comme il suit : Considérons, en effet, un cercle y de rayon R décrit du

Fig. 6.

point O comme centre, et soit mx un point pris sur OM et tel que 0/ni X OM = R*. Le point ntx est le pôle de la tangente mt par rapport au cercle y; de sorte que la transformation qui conduit de c à C résulte d'une transformation par polaires réciproques, suivie d'une inversion. Lorsque le point m décrit la courbe c, le point /ni, pôle de m/, décrit une courbe Cj tangente à la polaire du point m par rapport au cercle y» c'est-à-dire à la droite m^ t\ perpendiculaire sur 0/n. La tangente MT à la courbe G et la tangente /ni/i à la courbe Cx font des angles égaux avec le