CHANGBMKNTS DE VARIABLES

rayon vecteur OmiM; si donc nous menons la normale MA, les angles AMO, AOM sont égau\ comme compléments d'angles égaux, et le point A est le milieu du rayon 0/n. D*où l'on conclut qu'on obtierft la normale à la podaire en joignant le point M au milieu de Om.

37. Transformations homographique s. — Toute fonction y qui vérifie l'équation ^= oest une fonction linéaire de x et inversement. Or, quand on effectue sur x tX y une transformation homographique

une ligne droite se change en une ligne droite ; l'équation y = 0 doit donc se

rf*Y changer en ^^ =0. Pour le vérifier, nous remarquerons d'abord que la

transformation homographique générale peut se ramener à une suite de transformations particulières d'une forme simple. Si les deux coefficients a* et b' ne sont pas nuls, nous poserons X| = a'X h- ^'Y -+- c'; comme d'ailleurs on ne peut avoir à la foisa^' — a' b =0, a b' — ù'a" = 0, nous poserons en même temps Yf = a'XH-6'Y-i-c',en supposant a' b" — b' a' différent de zéro. Les formules précédentes peuvent alors s'écrire, en remplaçant X et Y par leurs valeurs en fonction de Xf et Yi,

Y, aX,-+-pY,-hY Q Y, y

On voit donc que la transformation homographique générale peut se ramener à une combinaison de transformations entières telles que

ar = aX-+-^Y-+-c, y — «'Xh- b'\ -h c,

et de la transformation particulière

Quand on effectue cette substitution, on trouve d'abord

dy \r^\ , ~i •^- Sï - x« • x^ " ^ ^^ '

y = ^ = - XY'(~ X*)= X» Y*.

De même, quand on effectue une transformation homographique entière.

puis

8o CHAPITRE II. — FONCTIONS lUPLICITES, BTC.

on a

y '^ dx ■" a-^hY'

^ " dx ~" (a-+-6Y')ï

Dans Jes deux cas, l'équation ^' = o se change en Y' = o.

Nous allons considérer maintenant des fonctions de plusieurs variables indépendantes et, afîn de fixer les idées, nous exposerons les raisonnements pour une fonction de deux variables.

38. Problème III. — Soit co =zf[x^ y) une fonction des deux variables indépendantes x et y; on prend deux nouvelles variables indépendantes u et v liées au^ anciennes par les formules

et Von se propose d^ exprimer les dérivées partielles de w par rapport aux variables x et y au moyen de w, v^ et des dérivées partielles de w, prises par rapport aux variables u et v.

Soit a> = F(w, v) ce que devient la fonction y(^, y) après la substitution; la règle de dérivation des fonctions composées nous donne

Ou ~ dx du ây ôu^

di> ~~ dx âv dy d^ '

on peut tirer de ces deux équations ^ et -r- car, si le déterminant T^/ ^ -{ était nul, le changement de variables effectué n'aurait aucun sens. On déduira donc des équations précédentes

dx Ou dv *

(diù y^ diù n ^^ dy "" du dv '

A, B, C, D étant des fonctions déterminées de u et v^ et ces formules résolvent le problème pour les dérivées du premier ordre. Elles montrent que, />owr obtenir la dérivée d' une fonction par rapport à x^ il faut multiplier par A la dérivée prise par rap-