III. — CRANGBMBNTS DB VARIABLES. 8l

port à u^par B la dérivée prise par rapport à t>, et ajouter les deux produits; on opère de même pour avoir la dérivée partielle par rapport à y, en remplaçant A et B par C et D respectivement. Pour calculer les dérivées du second ordre, il suffira d'appliquer aux dérivées du premier ordre la règle exprimée par les formules précédentes; ainsi, on aura

dx^ '~ dx\dx )"' dx\ du âv /

:\ àa àv / à%^\ du âv / '

OU, en développant les calculs,

âx* "" \ âu^ du du du du du dv /

/ ()«a> o ^*^ dX dut dB doi\

\ dudv du^ dv du du dv J *

et Ton trouvera de même , . > -rr» et les dérivées suivantes. Dans

dx dy dy^

toutes les dérivations à effectuer, il suffît de remplacer les opéra-

lions ^ et — par les opérations

du du du du

respectivement; tout revient donc au calcul des coefficients Â, B, C, D.

Exemple /. — Considérons l'équation

, ^ d^oi . d^w d^w

' dx^ dx dy dy*

où Jes coefficients a, b, c sont constants; nous allons chercher à ramener cette équation à une forme aussi simple que possible. Observons d'abord que si l'on avait à la fois a = c = o, il serait superflu de chercher à simplifier l'équation; nous pouvons donc supposer que c, par exemple, n'est pas nul. Gela étant, prenons deux nouvelles variables indépendantes, u et u,

u = X -{- oLy, p = a; -h ^yy G. 6

8a CHAPITRE II. — F0NCTI0X8 IMPLICITES ^ ETC.

« et p étant deux coefficients constants indéterminés. On a aussitôt

dx ~

dtù 1^

a^ + P du ^

de sorte que l'on a, dans ce cas, A = B = i, G = a, D = p. La méthode générale donne ensuite

âx* ~~ âu'^ du âv dç* '

âxdp ~* du^ '^^^'^^^âûâ^'^^ dpi"'

d*u) . d*a> n d*ti) «. d*a>

= a* h aap ^" p* >

d/* du^ ^ dudv ^ dp*

et l'équation proposée devient

-H2[en-6(a-4-P)-+-caP]^4-(a-4-26p + cP«)^=o.

Gela posé, plusieurs cas sont à distinguer :

Premier Cas, — Soit 6*— ac>o; en prenant pour a et p les deux racines de l'équation

a-k-ibr -\- cr* = o,

l'équation prend la forme simple

âuàv

Gomme on peut l'écrire — f -r- j = o, on voit que ^ doit être une fonction de la seule variable a, soit /(w). Désignons par F{u) une fonction de u dont la dérivée ¥'{u)=/{u); la dérivée de to — F(m) par rapport à u étant nulle, cette différence est indépendante de u, et l'on a par conséquent to = F(a) -+- *(p). La réciproque est immédiate. En revenant aux variables x et yj on en conclut que toutes les fonctions co qui satisfont à l'équation (a6) sont de la forme

les fonctions F et* étant arbitraires. Par exemple, l'intégrale générale de

l'équation

d*u) __ d*ti) d^* "" àx^ '

m. >- CHANGEMENTS DE VARIABLES. 83

qui se présente dans la théorie des cordes vibrantes, est

to =/(a?H-a^)-t-(p(a7 — a^).

Deuxième Cas, — Soit 6* — ac = o. En prenant a égal à la racine double de Féquation a -H a 6r h- cr* = o, et prenant ^ différent de a, le

coefficient de - — -r- sera nul, car il est égal àa-+-6a-»- p(6H-ca); l'équation se réduira donc à -r-j- = o. On voit que a> doit être une fonction

linéaire de v, (o = i'/Cw) h- <p(M), les fonctions /(u) et <p(u) étant quelconques; en revenant aux variables x et y, l'expression de to est

ce qui peut s'écrire

u> = [ar 4- «7 -+- (P — 0L)y]f{x -h ay) 4- o(a? -4- ay), ou encore

0) =^F(ar -h ay) -h 4>(a? -h ^y).

Troisième Cas, — Si ^*--ac<o, la transformation précédente ne s'applique plus, à moins d'introduire des variables imaginaires. On peut alors déterminer a et ^ de telle façon que l'on ait

a -h 2 6a -h ca'^=- a -h 26 ^ 4- c 3*,

a -\- b{oL 4- P) 4- cap = o, ce qui donne

l'équation du second degré, qui a pour racines a et p,

a 6 26*— ac r» 4 r 4 ; = o

a, en effet, ses racines réelles. L'équation proposée devient alors

d* O) d* to

cette équation A^to = 0, connue sous le nom d'équation de LaplacCy joue un rôle fondamental dans un grand nombre de questions d'Analyse et de Physique mathématique.

Exempte II. — Cherchons ce que devient l'équation précédente en posant ar = p coscp, ^ = p sin<p. On a

t^to ôtù t)to .

^- = -7— coscp 4- -T- sincp, dp àx ' dy

et, en resolvant par rapport a -r -> -r->

do} dtji sincp âui

ox ^ dp p d(f