III. " CHANGEMENTS DE VARIABLES
cuier j^ et t— 4-i nous partirons de l'identité
qai est équivalente aux deux relations
du "" dx* du dx dy du
\dxj d^dx d^f dy
dç ~~ dx^ di> dx dy dv
où Ton suppose que j- ait été remplacée par son expression déjà calculée. On trouvera de même t— 4- et t-^ en partant de Tidentité
dx dy dy^ -^^
et les deux valeurs obtenues pour -\—r- doivent être identiques, ce
qui fournit une vérification des calculs. Les dérivées d'ordre supérieur se calculent de la même façon.
Application aux surfaces, — On se sert du calcul précédent dans l'élude des surfaces. Supposons que les coordonnées d'un point d'une surface S soient exprimées en fonction de deux paramètres variables w, t», par les formules
on obtiendrait l'équation de cette surface en éliminant les variables u et V entre les trois équations (27), mais on peut se proposer d'étudier directement les propriétés de la surface S sur ces équations elles-mêmes, sans efiectuer l'élimination qui peut être pratiquement impossible. Remarquons d'abord que les trois jaco-
biens ^Y' ^l, ^y' \, ^y' \ ne peuvent être nuls à la fois, car
l'élimination de u et s? conduirait à deux relations distinctes entre x^y^ z et le point de coordonnées {x^y, z) décrirait une
courbe et non une surface. Soit, pour fixer les idées,
des deux premières équations (27) on peut alors imaginer qu'on ait tiré a et ^ et, en les portant dans la troisième, on aurait l'équation de la surface z = F{x^ y). Pour étudier cette surface dans le voisinage d'un point, il faut pouvoir calculer les dérivées partielles /?, q^ r, s^ t, ... de cette fonction F{x^y) au mojen des paramètres w, ç. Les dérivées premières p et q s'obtiendront au
mojen de la relation
dz =p dx-hq dyy
qui se dédouble en deux équations (28)
ou ' ou ^ ou d^ âf df
permettant de calculer/? et q. L'équation du plan langent s'obtiendra en portant ces valeurs dep et de q dans l'équation
ce qui conduit à l'équation
Les relations (28) ont une signification géométrique facile à retenir; elles expriment que le plan tangent contient les tangentes aux deux courbes situées sur la surface, que l'on obtient en laissant V constant et faisant varier £/, puis en laissant u constant et faisant varier i^ (*).
Ayant obtenu/? et f7,/>=/i(w, v)^ q r=f^{u^ ç)^ on obtiendra
(') On peut aussi arriver à l'équation du plan tangent par un raisonnement direct. Toute courbe située sur la surface est définie par une relation entre u et (^, soit ç = l\(u)^ et la tangente à cette courbe a pour équations
du dv dit ôv du dv '
L'élimination de n'(u) conduit à l'équation du plan tangent (29).
m. -- CHANGIMBNTS DB VARIABLES. 87
r, S, t au moyen des égaliiés
dp = rda: -\- s dy^ dq = i dx -^ t dy,
dont chacune fournit deux relations distinctes, et ainsi de suite. 40. Problème IV. — Si l'on pose
(3o) x^f{u,v, w), y = 0{Uy V, w), 5 = 4^(m, p, cv),
ces formules font correspondre à toute relation entre les variables x^y^ z, une nouvelle relation entre w, <», w. On se propose (T exprimer les dérivées partielles de z par rapport aux variables x^ y y au moyen de w, r, cv, et des dérivées partielles de w par rapport aux variables u et v.
Ce problème se ramène à celui qui vient d^étre traité. Si Ton suppose en effet que w ait été remplacé dans les formules (3o) par une fonction de u et de r, ou a les expressions de x^y^ z au moyen des deux paramètres u et v^ et il suffit de reprendre la méthode précédente en considérant/, (p, ^ comme des fonctions composées de w, v^ la variable w étant traitée comme une fonction intermédiaire de u et V. On a, par exemple, pour calculer les dérivées du premier ordre />, q^ les deux relations
d^ d^ dw ^ I àf àf dw \ / d^ d"^ dw \
au àw du ~~ "\du ôw du ) " \du dw du)
&^ d^ dw __ l^f ^f àw\ [do d^ dw\
dv dw dv '^ \dv dw dv ) " \dv dw dç )
et de même pour les dérivées suivantes.
En langage géométrique, le problème précédent peut s'énoncer comme il suit : A tout point m de l'espace, de coordonnées (^, j>', ^), on fait correspondre, par une construction déterminée, un autre point M, de coordonnées X, Y, Z. Lorsque le point m décrit une surface S, le point M décrit une surface S, dont on se propose de déduire les propriétés de celles de la première.
Les formules qui définissent la transformation sont de la forme
soient
les équations des deux surfaces S, S. 11 s'agit d'exprimer les dérivées partielles P, Q, R, S, T, . • . de la fonction ^(X, Y) au moyen de x^ y, z et des dérivées partielles /?, q^ f'j s^ t^ ... de la fonction F{Xy y). C'est précisément, à la différence de notations près, lé problème que nous venons de traiter.
Les dérivées premières P et Q ne dépendent que de x^ y, z^ />, y, de sorte que la transformation change deux surfaces tangentes en deux surfaces tangentes. Mais ce ne sont pas les transformations les plus générales qui jouissent de cette propriété, comme on le verra par les exemples ci-dessous.
41. Transformation de Legendre. — Soit z=/{x,y) l'équation d'une surface S; au point m(x^ y, z) de cette surface, faisons correspondre le point M, de coordonnées X, Y, Z, en posant
X=/>, Y = y, Z=px-hqy — z,
et soit Z = ^(X, Y) l'équation de la surface S décrite par le
point M. Si l'on imagine qu'on ait remplacé 5, /?, q par/, j-^ j-'
on a les expressions des trois coordonnées du point M en fonction des deux variables indépendantes x et y.
Désignons encore par P, Q, R, S, T les dérivées partielles de la fonction ^(X, Y); la relation
nous donne
p dx ~\- q dy -\- X dp -^y dq — dz = P dp-^Qdq ou
X dp -r-y dq = F dp -\- Q dq.
Supposons que, pour la surface considérée, p et q ne soient pas fonctions l'une de l'autre, de telle sorte qu'on ne puisse avoir une identité de la forme X dp -\- ii. dq = o sans que l'on ait, à la fois, X = jjL = o. On déduit alors de la relation qui précède
Pour avoir R, S, T, nous partirons de même des relations
dP = RdX-^SdY, dq = SdX^TdY,
m. — CHANGBUBriTS DE VARIA BLBS. 89
qui deviennent ici, en remplaçant X, Y, P, Q par leurs valeurs,
dx= R( r dx -h s dy) -\- S(sda: -^ ^dy), dy = %{rdx-^ sdy) -^1{sdx-{- tdy)]
on en tire
Rr-+-S5=i, R5-î-S< = o,
Sr-t-T* = o, Ss-^1t= I, et, par suite.
rt — s^ ri — j' rt — *•
Des formules précédentes on déduit inversement
x = P, j = Q, ^=PX^-QY-Z, y> = X, 7 = Y,
s = TTTÏ^ TT. y t =
RT — S»' RT-S*' RT — î>»'
ce qui prouve que la transformation est réciproque. D'ailleurs, c'est bien une transformation de contact, puisque X, Y, Z, P, Q ne dépendent que de x, y, z^ /?, q. Ces propriétés deviennent intuitives, si Ton observe que les formules définissent une transformation par polaires réciproques, relativement au paraboloïde
x^-hy^ — 2 5 = 0.
Remarque. — Les expressions de R, S, T deviennent infinies lorsque, en tous les points de la surface décrite par le point m, on a la relation rt — s^= o. Dans ce cas, le point M décrit une courbe, et non une surface, car on a
D{x,y) D(x,y) et de même
D(X, Z) T)(p,px-^gy^z)
D(x,y)- Dix, y) '^^'^^ ' ^ " ^•
C'est précisément le cas qu'on a laissé de côté.
42' Transformation d'Ampère. — Les notations restant les mêmes que dans l'exemple précédent, posons
X=:r, Y = ^, Z = qy^z\ la relation
rfZ = P rfX H- Q ^
go CHAPJTBE II. — FONCTIONS IMPLICITES, ETC.
devient
q dy -\-y dq — dz ^V dx -\-Qldq\ ou
y dq — p dx = F da; -^Qdq ; on a donc
P = -p, Q=j, et inversement
:r = X, ^ = Q, ^ = QY-Z, p = -P, q = \,
de sorte que la transformation est bien une transformation de contact et réciproque. La relation
t/P = R rfX + S rfY donne ensuite
— rdx^ s dy = Kdx-\- S(s dx -h t dy),
c'est-à-dire
Rh-S^ = — r, Sr = — 5,
et l'on en tire
s^— rt
en partant de la relation ûfQ = S dK-^-T d\, on trouvera de même
Proposons-nous, comme application de ces formules, de trouver toutes les fonctions /(a?,/) qui satisfont à la relation rt — 5* = o. Soient S la surface représentée par l'équation z =/(Xj y)^ S la surface transformée, et Z = *(X, Y) Téquation de 2. D'après la formule qui donne R, on doit avoir
et * doit être une fonction linéaire de X,
Z = X<p(Y)+4-(Y), 0 et t}* étant des fondions arbitraires de Y. On en déduit
P = ?(Y), Q = Xç'(Y)-hr(Y),
et les coordonnées (ar, y^ z) d'un point de la surface S s'expriment inversement en fonction des deux variables X, Y, par les formules
* = X, y = \<f'(Y) + ^-{Y), i = Y[Xo'(Y)+4,'(Y)]-X7(Y)-4-(Y);
l'équation de cette surface s'obtiendra en éliminant X et Y ou, ce qui revient au même, en éliminant le paramètre variable a entre les deux
m. — CHANOBMBNTS DE VARIABLES. 9I
équations
5 = a^ — ar<p(a)-^(a),
dont la première représente un plan mobile dépendant du paramétre a, tandis que la seconde s'obtient en diiïérentiant la première par rapport à ce paramètre. On obtient ainsi des surfaces développât les, qui seront étudiées plus tard.
43. Équation du potentiel en coordonnées curvilignes. — Les calcul s qu'exige un changement de variables peuvent, dans bien des cas, être simplifiés par différents artifices. Je prendrai pour exemple Téquation du potentiel en coordonnées curvilignes orthogonales ('). Soient
^1(^7 r, 5)= pi,
les équations de trois familles de surfaces formant un système triple ortho gonali deux surfaces quelconques appartenant à deux familles différentes se coupant toujours à angle droit; si l'on résout ces trois équations, on en lire Xj^j z en fonction des paramètres p, pi, pi,
1 ^= ? (p. Pi»pi),
(3i) J ^=çi(p, p„ p,),
( z = ©i(p, pi, pt);
pi 9u Pî forment un système de coordonnées curvilignes orthogonales.
Puisque les trois surfaces précédentes sont orthogonales, les tangentes aux courbes d*intersection de ces surfaces prises deux à deux doivent former un trièdre trirectangle; il faut donc que Ton ait
^^^^ Odpàf^T''^ ^^pl^-' Odp'ôj;'''''
le signe V indiquant que Ton doit remplacer cp par oi, puis par <pi. Ces conditions d'orlhogonalité peuvent encore s'écrire sous la forme équivalente
dx dx ùy àv Oz àz ^
dx dx dx dx '>
i * ) Lamé, Traité des coordonnées curvilignes. Voir aussi Bertrand, Traité de Calcul différentiel y tome I, p. 181.
Cela posé, cherchons ce que devient Téquation du potentiel , ^, d*\ d»V d«V
avec les variables p, pj, p^; on a d'abord
d\ âV dp ^^ ^^X^9l dx ~ dp dx dpx dx ' dpt àx puis
âx^ "" âp^ \dx) "^ âp\ [ôt) ■*" âpl \âx)
à* y dp dp, a«V dpj^ dpt d^V dp dpt
dpdpi dx dx dpidp^ dx dx dpdpt dx dx
dV d^ d\ d^pt à\ d^pt^ dp dx^ dpi dx^ dpi dx*
En ajoutant les trois équations analogues, les dérivées du second ordre
d*V telles que j-\— disparaissent dans la somme, en vertu des relations (33),
et il reste
^ ^ ' ' àV dV d\
A| et Af désignant les paramètres différentiels de Lamé
Les paramètres différentiels du premier ordre A,(p), Ai(p,), Ai(p,) se calculent facilement. Des relations (3i) on tire
df dp d^ dpi d(p dpi __
dp dx dpi dx dpi dx *
doj dp d(^i dpi d(fi dpi
dp dx dpi dx dpt dx *
à^t àp ^ d(^t dpi ^ dffi dpt ^ ^ dp dx dpi dx dpi dx '
et, en multipliant ces trois équations par -r^^ -^9 -~-9 et ajoutant,
dp __ (>p
dx
m'H^hm"
