CHANGEMENTS DE VARIABLES

on calcule de même t^ et -~» et il vient dy dz

(à?Y (àpy /djy^ '

\àT/ \dy; \dz/ /à<>\\(t^2)\(^y Si donc l'on pote

le signe Q indiquant toujours qu'on doit remplacer <p par <pt, puis par ^tr et ajouter, on a

^i(p)=g» Ai(pi)=jj-' A,(p,)=|^.

Lamé obtient les expressions de As(p), At(pi), Ai(pt) en fonction de p^ pli Pli P^r un calcul assez pénible, que l'on peut abréger comme il suit : Dans l'identité (34),

^*v= H d^ -^ h; ^ -^ n; ^ -^^'(?) dp -^^«(p») ôf, -^^«^p») 5^ '

faisons successivement V = ar, V=/, V = 5; nous avons les trois relations

H^i ^h;^ -^h;^ -^^•(?)c*-p ^^«(p')àp;^^«(p')g=°-

• Ç.tl + • ^ ^ • Ç.?. + Vp) ^ + A,(pO ?i -H i.(p.) ?i = O. H <Jp* H| c^p} IIi dpi ^^ dp ^^ dpi ^ dpi

qu'il n'y a plus qu'à résoudre par rapport à At(p), A](pt), A](ps). On en tire, par exemple, en les multipliant par ~> -^y -J-y et ajoutant,

^»<?>« -^ mS^^ ^ ^ H7S-4 â^ + ii;S^ c*pi =°-

D'ailleurs on a

Sd^ d^o __ I dH dp dp* ~ 2 dp '

et, en différentiant la première des relations (3^) par rapport à pi, il vient

S^ ^*? — n do d*cp __ I dllf dp dp] ~ *3dpi dpdpi ~" 2 dp

On a de même

dp dpi ~ a dp et, par suite,

^«(P)- aH« dp'^2HHx dp "*"îiHH, dp

= -nïèh(H7k)]-

En posant H = ^> Hj = t7> Hi= t-j> celle formule devient et Ton a de même

La formule (34) devient donc en définitive

l da:« "^ d/* "^ dz* "■ dp» "*■ » dpi "*" * dp| /o.v ] u. à /, h \d\ .^ d /, hi\ dV

OU, sous une forme plus condensée,

/'i A.v= AA,A,[^ (^ ^)+ dp"; (& ^)-^ 5^ (m: S]*

Appliquons cette formule aux coordonnées polaires. Les formules de transformation sont, en remplaçant pi et ps par 6 et ^,

X = psinO coscp, j^ = p sinO sin<p, -5 = pcosO, et les coefficients A, Ai, ht ont les valeurs suivantes :

A = i Ai=-> hf =

p' ''~psinÔ' la formule générale devient donc

^'^= ^[^(p'''"'* ?)^ i(''"'* w)+ ^^(iie ^)]

EX1BCICE8. 9^

OU, en développaot,

AV-— ±— I à*\ 1 à\ cote dV

* " <^p« "^ p* (^* "^ p«sin«e (^« "^ p ()p ■*" p* (^ '

comme il est facile de le vérifier directement.

1. En posant u = a?«-+-^«-4-3*, t» = ar -h^h- ;j, w = xy -^ yz -i- zx, on a Identiquement 777 ( = o. Trouver la relation qui lie w, v, w.

Généralisation,