Même question pour Téquation
d* z dz àz
quand on fait le changement de variables x = mp, y = -f
14. 'Soit o(xi, xj, x„; Ml, Wj, . . ., iin) une fonction des invariables
indépendantes Xij Xj, ..., x^, u^ Wj, ..., W;,, homogène et du second degré par rapport aux variables Wi, aj, . . ., ii^' Si l'on pose
d(D do Oo
^,^P" ^:r,=P" ■■■• ôùi^f"^
et qu'on prenne pi, />j, ..., pa pour variables indépendantes à la place de Ml, Utf . .., Unt la fonction «p se change en une fonction
^{Xi, Xi, ..., Xn'yPu Pij ...,/>„).
Démontrer les formules
àà à'I do
— — = Ut, - — = — - *- • àpk dxk dxK-
15. En chaque point M d'une surface S, on mène la normale MN dont G. 7
on prend le point de rencontre N avec un plan fixe P, puis on porte sur la perpendiculaire au plan P menée par ce point N une longueur N /?? = NM. Trouver le plan tangent à la surface décrite par le point m.
La transformation précédente est une transformation de contact. Étudier la transformation inverse.
16. A partir des différents points d'une surface donnée S, on porte, sur les normales à cette surface, une longueur constante /; chercher le plan tangent à la surface £, lieu des points ainsi obtenus {surf aces parallèles).
Même problème pour une courbe plane.
17. *Étant donnés une surface S et un point fixe O, on joint le point O à un point quelconque M de la surface S; par le rayon OM et la normale MN à la surface S au point M on fait passer un plan OMN. Dans ce plan OMN on élève, par le point O, une perpendiculaire au rayon OM sur laquelle on porte une longueur OP = OM. Le point P décrit une surface 2, qui est dite Vapsidale de la première. Trouver le plan tangent à cette surface.
La transformation précédente est une transformation de contact, et il y a réciprocité entre les surfaces S et £. Lorsqu'on prend pour la surface S un ellipsoïde, le point 0 étant au centre, la surface £ est la surface des ondes.
18. 'Invariants différentiels d^Halphen, — L'équation différentielle
l^yy ^ fK^^^ [d^yy
^ V dx^l dx' dx^ dx^ dx^ ^^^\dx^j " ^
ne change pas de forme quand on effectue sur les variables or, y^ une transformation homographique quelconque (n** 37).
