Dans l'expression

V dx^Cidy -^^dz,

où P, Q, R sont des fonctions quelconques de ar, y, z^ on pose x=f{u, V, tv), >' = cp(M, p, w), z = <Km, p, w),

Uy p, w étant de nouvelles variables; elle se change en une expression de même forme

Pi, Qi, R| étant des fonctions de w, p, w. Vérifier que l'on a identiquement

en posant

«-(S-f)*''(ë-Jf)-(f-S)'

20. *Covariant bilinéaire. — Soit 0^ une forme linéaire de différentielles

où Xi, Xs, . . ., Xa sont des fonctions des n variables Xx^ x^y . . ., Xn» On coDsidère Teipression

OÙ Ton a posé

dxk àxi

et où figurent deux systèmes de différentielles d^ 8. Si Ton fait un changement de variables quelconque

a^/=?/(^i»7î, ...1^/») (* = >» 2, ..., /i) l'expression 6^ se change en une expression de même forme

où Y,, Yj, . . . , Yrt sont des fonctions de ji, /j, . . ,<, yn\ soient de même

a'. = ^ - ^ et

^'=^^a\,dyiZy,,

On a identiquement H = H', pourvu qu'on remplace dxi et Zxk par

^ri àyt àyn -^ '

à^k î . à^k 'S , àok ^

respectivement. On appelle H un covariant bilinéaire de 0^.

21. 'Paramètres différentiels de Deltrami. — Étant donnée une expression

E dx^-^iF dxdy -^ Gdy^,

où E, F, G sont des fonctions des variables x,y^ on fait un changement de variables x=J(Uj p), ^ = <p(M, t^), et l'on obtient une expression de même forme

El du^ -+-2Fidudv -h Gi dv^f

lOO CHAPITRE II. -— FONCTIONS IMPLICITES, ETC.

OÙ E|, Fi, G| sont des fonctions de u et de v. Soient 6(x, y) une fonction quelconque des variables ar, j, et 6i(m, v) ce qu'elle devient 'par ce changement de variables. On a identiquement

EG-F* "■ E,Gi— F} '

I ^ / âx dy \ I à l dy

v/EG~— F» <>-^ \ /ËG^ F»~/ "^ /EG^Fî ^7 \~7ë^

I à { ^ dv ^ du

2, Gi - Ff ^" \ v^E,G,-Fî

v/E,Gi-'Fî ^"\ /Ë7g;-FÎ / v^EiGi~Kî ày^\ v^E,G,-Fî >

22. Schwarzien. — Si Ton pose^ = -i> x étant une fonction de t

et a, 6, c, £^ étant des constantes quelconques, on a

ar', a?', x"'^y\y^y'" désignant les dérivées par rapport à la variable t,

23. 'Soient a et t' deux fonctions quelconques des deux variables indépendantes X tly. On pose

au-^bv-^c -. a' u -^ b' V -r- c'

a a -+- 6 V -+- c au'i-bif-r-c

a, bj c, . . ., c" étant des constantes. Démontrer les formules

à^u àç d^ôu d*V dV â^X dU O.r^ Or O.r^ Ox Ox"^ ôx dx^ àx

d^ u dv â^v du / àv à- u du â^v \

Ox^ Oy Ox^ ây \ Ox Ox Oy àx àx ôy /

t)2v âv /oy d

Ox* ây \0x Oa

Ox* Oy

et les formules analogues obtenues en permutant x et y; on pose

^"' ■ ~ Ox'ày Oy àx' ( » ^) - "^^ oy Ox Oy'

[GouRSAT et Painlevé, Comptes rendus, 1887.]