L - FORMULE ET SÉRIE DE TAYLOR. - GÉNÉRALITÉS

44. Formule générale. — Lorsque y (j:) est un polynôme entier de degré n, on démontre, dans tous les Cours d'Algèbre, que l'on a, quels que soient les nombres a et A,

le développement s'arrête de lui-même, puisque toutes les dérivées sont nulles, à partir de la (/i -h i )**""*. Si Ton voulait appliquer cette formule à une fonction f{x)^ différente d'un polynôme, le second membre se composerait d'un nombre illimité de termes; pour savoir la valeur qu'il convient d'attribuer au développement que l'on obtiendrait ainsi, nous allons d'abord chercher une expression de la différence

en supposant seulement que la fonction /(^r) est continue, ainsi que les n premières dérivées /'(j?),/"(:c), . . .,/^'"(x), lorsque x varie de a à a 4- A, et (\\xg f^^^ [x) admet elle-même une dérivée y(«+»)^/p) dans cet intervalle. Les nombres a et h étant donnés, posons

p étant un nombre entier positif quelconque. Le nombre P étant

lOft GHÀPITRR III. — FORMULE DE TATLOR, ETC.

défini par cette égalité, considérons la fonction auxiliaire

^(a:)=f{a-hh)—f(x) j /'(x) — /'(a-) — ...

on a évidemment

ç(a) = o, îp(a-+-A) = o,

la première relation résultant de la formule (2) qui définit le nombre P. Or il résulte des hypothèses faites sury(j?) que la fonction o{x) admet une dérivée dans l'intervalle (a, a-f-A); l'équation cp'(^) ^ o doit donc avoir, d'après le théorème de RoUe, une racine a + 9 A comprise dans cet intervalle, 8 désignant un nombre positif compris entre zéro et un. Si l'on calcule <p'(^), il se produit des réductions évidentes, et il reste

ç'(^) = {a-^h-x)P'i [p (ei ^ A ar)«-P+t/(«+«'(x)].

Le premier facteur (a 4- A — x)p~* ne peut s'annuler pour une valeur de x diflTérente de a 4- A ; il faut donc que l'on ait

P = ^«-p+i (i — 0 )i-/»+iy (n+i) (a-h6A), où o<6<i, et en remplaçant P par cette valeur dans formule (2), il vient (3) /(a-^A) = /(a)+ jf(a)+ -?^/» + ...^ ^^±l^fU)(a)^ R„, en posant

Nous appellerons cette formule (3) la formule générale de Taylor; le dernier terme R« s'appelle le reste. Ce reste dépend d'un nombre entier positif/?, que nous avons laissé indéterminé. Dans la pratique, on ne prend guère pour ce nombre p que l'une des deux valeurs /? =1 /i 4- i , ou /> = i ; si l'on fait /? == /i 4- 1 , on trouve l'expression du reste due à Lagrange