I. — FOmULB ET 8BBIB DE TATLOR. — GÉNÉmALITés

si Ton fait jE> = i , il vient

a y "LL.fin^Dra-^^h).

forme du reste qui est due à Cauchy. Il est d'ailleurs évident que le nombre 0 n'a pas généralement la même valeur dans les deux formules. On peut aussi Técrire, en supposant/<'»+*^(j;) continue pourx = a,

e étant infiniment petit en même temps que A.

Prenons, pour fixer les idées, la forme de Lagrange; si, dans la formule générale (3), on fait successivement n = 2, /i=^3, /i = 4> ••• on a autant de formules distinctes, qui donnent des valeurs de plus en plus approchées de /{a -h h) pour les valeurs de h infiniment petites. Ainsi, pour /i = 2, on a

ce qui montre que la différence

/(a-^h)^/ia)-j/'(a) est un infiniment petit du second ordre. De même la différence

f(a-^h)-/ia)-j/'(a)-^r(a) est un infiniment petit du troisième ordre et, en général,

/(a-HA)-/(a)-^/'(a)-...--^/'«H«)

est un infiniment petit d*ordre n + i par rapport à h. Mais, pour avoir une idée exacte de l'approximation obtenue en négligeant R„, il faut encore avoir une limite supérieure de ce reste. Si Ton désigne par M une limite supérieure de la valeur absolue de/^'*'*"* ^{x) dans le voisinage de a: =: a, soit de a — r, àa -f- tq, on a évidemment

iR«:< — ^^^7 M,

pourvu que l'on ait aussi |A| < t^.