I04' CHAPITEB III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC

45. Application aux courbes. — Ce résultat peut s'interpréter géométriquement. Supposons qu'on veuille étudier la courbe C ayant pour équation y=zf(^x)^ dans le voisinage du point A, d*abscisse a. Considérons en même temps la courbe auxiliaire C^ représentée par l'équation

une parallèle à l'axe des y^ j? = a -h A, rencontre les deux courbes C et C en deux points M, M', voisins du point A; la différence de leurs ordonnées est égale, d'après la formule générale, à

y-X= ^^ /(/,-Hi)(a-^6A).

Cette difTérence est un infiniment petit d'ordre n-l-i, de sorte qu'en se bornant à un intervalle assez petit (a — t^, a-f-r, ), la courbe C se confondra sensiblement avec la courbe C En prenant pour l'entier n des valeurs de plus en plus grandes, on aura des courbes C différant de moins en moins de la courbe C, et des renseignements d'autant plus précis sur V allure de la courbe C au voisinage du point A.

Prenons d'abord /i = i; la courbe C se confond alors avec la tangente à la courbe C au point A,

et l'on a, pour la différence des ordonnées des points M et M' de la courbe et de la tangente correspondant à une même abscisse a -i- A,

supposons, ce qui est le cas général, /^'(cr) ;;^o. On peut encore écrire

t étant infiniment petit avec A. Puisque t tend vers zéro en même temps que A, choisissons, ce qui est possible, un nombre positif ï^ tel que, Avariant de — t^ à h-yj, on ait \^\<\f"{ci)\' Pour ces valeurs de A, la quantité /''(t?) -h e aura le même signe que f"{a)^