I. — FORMtLE ET SÉRIE DE TAYLOR. — GÉNÉRALITÉS. Io

et/ — Y aura aussi le signe de /"{a). Si /"{a) >► o, l'ordonnée jk de la courbe est supérieure à l'ordonnée Y de la langenie, quel que soit le signe de h ; la courbe C est située tout entière au-dessus de la tangente dans le voisinage du point A. Au contraire, si /'(âr)<o, on a j^ <; Y, et la courbe est tout entière au-dessous de la tangente dans le voisinage du point de contact.

Si /''(«)= o, soit f^P^ (a) la dérivée de Tordre le moins élevé qui n'est pas nulle pour o: = a, à partir de la seconde; on a encore

el l'on démontre, comme tout à l'heure, que dans un intervalle assez petit (a — r,, a j-r,), la différence i-- Y a le même signe que le produit hP/P^ (a). Lorsque p est pair, cette différence ne change pas de signe, lorsque h varie de — r, à + ïi, et la courbe est tout entière d'un même côté de la tangente dans le voisinage du point de contact. Mais, si p est impair, la différence y — Y change de signe en même temps que A; la courbe C traverse sa tangente au point de contact. Le point A est un point d'inflexion ; c'est ce qui a lieu, par exemple, si l'on a /"\a) -/=. o. Prenons ensuite /i r= 2. La courbe C est une parabole

dont Taxe est parallèle à Oy^ et il vient

^^ f"{a) n'est pas nul, y — Y a le signe de h^f'"{a) pour les valeurs de h infiniment petites, et la courbe C traverse la parabole G au point A. Cette parabole G' est dite osculatrice à la courbe C; c'est, parmi les paraboles représentées par une équation

de la forme

Y = mx^ -H nx 4- p,

celle qui se rapproche le plus de la courbe C dans le voisinage du point A.