Méthode générale de développement. — La- formule

Io6 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

fournit pour rinfininient peih/(a -h h) — /(a) un développement suivant les puissances croissantes de h. D'une façon plus générale, soit X un infiniment petit principal que, pour éviter toute difficulté, nous supposerons positif, et y un autre infiniment petit qui a une expression de la forme

(4) 7 — Ai^r^i-f- Aiar'»«-+-...-l-a7«p(Ap-i- e),

/îi, n-2, . . ., Hp étant des nombres positifs croissants, mais non pas forcément entiers, A|, A2, . . . , A^ des constantes différentes de zéro, et e un autre infiniment petit. Les nombres /i|, A|, /i2, A2, . . . peuvent se déterminer de proche en proche par un calcul régulier. D'abord il est clair que /i| est égal à l'ordre infinitésimal

de y par rapport à j?, et A| est égal à la limite du rapport -^ pour X =z o. On a ensuite

y — XiX^i = M, = Aja?"!^. . .— (ApH- t)T»r^

ce qui montre que /i2 est égal à Tordre infinitésimal de «/| et A2 à

la limite du rapport — ^> et l'on continuera de même pour avoir

les termes suivants. Il est visible, d'après cela, qu'un infiniment petit r ne peut admettre deux développements essentiellement différents de la forme (4); si les deux développements ont le même nombre de termes, ils sont identiques; si l'un d'eux a p termes, et l'autre p -\- q termes, les termes du premier se retrouvent dans le second. Cette méthode s'applique en particulier au développement de /{a 4- A) — /(^) suivant les puissances de A, sans qu'il soit nécessaire d'avoir obtenu d'abord l'expression générale des dérivées successives de la fonction f{x)\ elle donne au contraire un moyen pratique de calculer les valeurs des dérivées f (a) y /"(a) y ....

Exemples. — Considérons l'équation

(5) ¥(x,y) = Ax'i-h By -h xy'P( Xy y) -^- Cx"-^^ -h , ..-+- Dy^ \-.,.=:0y

où 4>(^, y) est un polynôme entier en x et y^ et où les termes non écrits forment deux polynômes P(^) et Q(y), divisibles respectivement par :r"+* et par j^; les coefficients A et B sont l'un et l'autre différents de zéro. Lorsque x tend vers zéro, il y a une