I08 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC

que celui que donnerail la formule de Taylor en y faisant a = o,

Voici un autre exemple où les exposants ne sont pas nécessairement des nombres entiers. Soit

■+- Birr{*i-H GiarYiH-. . .

a, p, Y, ... et ^4, y,, ... formant deux suites de nombres positifs croissants, et le coefficient A n'étant pas nul; il est clair que la partie principale de^ est A^«, et Von a

, ^ B^P^G^r-4-...- Aa7«(B,.rP.-+-G,arY.-f-...)

y — Ax^= ,

i"hl3,a7Pi-4-G,a:Yt-4-...

expression de même forme que la première, dont on obtiendra la partie principale en prenant le terme du degré le moins élevé au numérateur. Il est clair que le même procédé fournira autant de termes que Ton voudra du développement.

Soit/(:r) une fonction admettant des dérivées jusqu'à Tordre /i -r- i; on a, en changeant a en :r dans^a formule (3),

£ tendant vers zéro avec h. Supposons, d'autre part, que par un moyen quelconque on ait obtenu pour/(a?-h A) une expression de même forme

f{x -h h) =/{cc) -i- A<pi (x) -+- A*<pj(a:) -4-. . .-4- h^[r^n(^) 4" e']*,

les deux développements de /{x -\- h) doivent être identiques terme à terme, de sorte que les fonctions cpi, cpj, . . ., Oai sont égales, à des facteurs numériques prés, aux dérivées successives dey(a;),

Gette remarque est quelquefois utile pour calculer les dérivées de certaines fonctions. Soit, par exemple, à calculer la dérivée n'^* d'une fonction de fonction

y=/(^)y où U = (S(X)\

on a, en négligeant les termes d'ordre supérieur à n, par rapport à A, et de même, en négligeant les termes d'ordre supérieur à n, par rap-