I. — FOBIIULE ET SERIE DE TATLOR. — GÉNÉRALITÉS. I

port à k.

Si dans le second membre on remplace k par

et qa'on ordonne le résultat par rapport aux puissances croissantes de A, il est évident que les termes négligés n'auraient aucune influence sur les coefficients des termes en A, A*, . . . , A". Le coefficient de A", par exemple, sera donc égal à la dérivée /i"'"»* de/[^(a')], divisée par le facteur i .2. . . n, ce qu'on peut écrire

A|- désignant le coefficient de A" dans le développement de

Pour plus de détails sur cette méthode, je renverrai le lecteur au Cours d'Analyse de M. Hermite (p. 59).

47. Formes indéterminées. — Soient /(x) et ^{x) deux fonctions s'annulant pour une même valeur de la variable j? = a ; la recherche de la limite vers laquelle tend le rapport

lorsque h tend vers zéro n^est qu'un cas particulier du problème qui consiste à trouver la limite du rapport de deux infiniment petits. Celte limite s'obtient immédiatement si l'on connaît la partie principale de chacun de ces infiniment petits, ce qui est précisément le cas lorsque la formule (3) est applicable à chacune des fonctions /(jt) et ^{x) dans le voisinage du point a. Supposons que la première dérivée de /(x) qui n'est pas nulle pour x = a est la dérivée d'ordre/?, /^''^ (a), et de même que la première dérivée de o(x), qui n'est pas nulle pour a: = a, est la dérivée d'ordre y, f^' (a). On peut écrire, en appliquant la formule ( 3 ) à chacune des fonctions /(jc), ç(-r), et divisant les résultats,

no CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

e et e' étant deux infiniment petits. IJ est évident, sur cette formule, que le rapport considéré augmente indéfiniment lorsque h tend vers zéro, si q est supérieur à /?, et tend vers zéro si q est inférieur

à p\ lorsque q =/?, il tend vers une limite finie *^, )(\'

Une indétermination du même genre se présente quelquefois dans les équations de la tangente à une courbe. Soient

les formules qui donnent les coordonnées d'un point d'une courbe quelconque G exprimées en fonction d'un paramètre t\ les équations de la tangente à cette courbe en un point M correspondant à la valeur /q du paramètre, sont, comme on Ta vu (n° 5),

J'\to} o'(/o) fUo)

Ces équations se réduisent à des identités, si les trois dérivées /'(/), <p'(f), ^'{t) sont nulles à la fois pour 1 = 1^. Pour lever la diffîcultéi reprenons le raisonnement qui a servi à trouver les équations de la tangente. Soit M' un point de la courbe G voisin du point M, et t^-^ h la valeur correspondante du paramètre; les équations de la corde MM' sont

Four plus de généralité, nous supposerons que toutes les dérivées d'ordre inférieur à/?(/? > i) des fonctions /(^), <p(0» 'KO sont nulles pour / = fo» mais que l'une au moins des dérivées d'ordre/?, par exemple /</*'( <o), n^est pas nulle. En divisant tous les dénominateurs des équations précédentes par hP et appliquant la formule générale (3), on peut encore écrire ces équations

e, e', z' étant trois infiniment petits. Si maintenant on fait tendre h vers zéro, ces équations deviennent à la limite

/(/»(Yo) ^^fH^of V'H^o)'

et ne présentent plus aucune indétermination.

Les points d'une courbe G où cette circonstance se présente sont en général des points singuliers, où la courbe offre quelque particularité de forme. Ainsi la courbe plane représentée par les équations