I. — FOaMt'LB BT 8BRIE DE TATLOR. — GÉNÉRALITÉS. III

passe par Torigine, et Ton a, en ce point, 777 — ";!#: ~ o* ^^i tangente est

Taxe des x, et Torigine est un point de rebroussement de première espèce.

48. Série de Taylor. — Lorsque la suite des dérivées de la fonction /(x) est illimitée dans l'intervalle (a.y a 4- A), on peut supposer le nombre n qui figure dans la formule (3) aussi grand qa*on le veut; si le reste R^ tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, on est conduit à écrire

(;)/(a^A)=/(a)-+-^/'(a)-+- ^^fia)-

formule

qui exprime que la série

est convergente et a pour somme/(a -h A). C'est cette formule (7) qui constitue la formule de Taylor proprement dite, mais elle n'est légitime que si l'on a établi que le reste R^ tend vers zéro pour n infini, tandis que la formule générale (3) ne suppose que l'exislence des dérivées jusqu'à la (n -f- i )'«"«. Cette formule (7) peut encore s'écrire, en remplaçant a par x,

au contraire, si l'on fait a = o, et qu'on remplace h par x, il vient

Cette dernière formule (8) est appelée aussiquel quefois yor/nw/e de Maclaurin ; mais on doit remarquer que ces différentes formules sont au fond équivalentes. Tandis que la formule (8) donne le développement d'une fonction de x suivant les puissances de x^ la formule (7) donne le développement d'une fonction de h suivant les puissances de h : il suffit d'un simple changement de notation pour passer de l'une à l'autre.

Il est un cas assez étendu où l'on peut affirmer que le terme complémentaire R^ tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment : c'est celui où la valeur absolue d'une dérivée d'ordre