CHAPITRE III. — FORMULE DE TATLOR, ETC

quelconque peste Inférieure à un nombre fixe M, lorsque x varie dans l'intervalle (a, a-^-h). On a en effet, en adoptant la forme du reste de Lagrange,

' ' i.a...(/i-i- ij

et le second membre est le terme général d'une série convergente. C'est ce qui arrive pour les fonctions e^, sinx, cosx; toutes les dérivées de e* sont égales à e* et admettent, par conséquent, le même maximum dans l'intervalle considéré. Quant aux dérivées de s\nx et de cosar, leur valeur absolue ne dépasse jamais l'unité. La formule (7) est donc applicable à ces trois fonctions, quelles que soient les valeurs de a et de A. Bornons-nous à la formule (8); si/(j?) r=: e*^, on a

et par suite

formule qui s'applique à toutes les valeurs, positives ou négatives^ de X, Si a est un nombre positif quelconque, on a a*^= ^loia g(^ par conséquent,

(10) a-^= IH ^^ -I- ' ^^— - -+-...H- î^ ^— -h....

Prenons encore /(j?) = sin^; les dérivées successives forment une suite périodique à quatre termes cosar, — sinar, — coso:, sinar, et les valeurs de ces dérivées pour x -^ o forment également une suite périodique 1,0, — 1,0. On a donc, pour toute valeur positive ou négative de x,

(11) Sin^= H :— y-r — ...-t-(— l)«

et l'on trouve de môme

(12) COSa? = I -H ^ .. .|(i)n

Revenons au cas général. La discussion du reste R^ est rarement aussi simple que dans les exemples précédents; mais on peut