FORMUtB ET SÉRIE DE TAYLOR. — GÉNÉRALITÉS. Il

(a faciliter en remarquant que, si ce reste tend vers zéro, la série

est nécessairement convergente. En général, 11 vaut mieux s'assurer, avant d'examiner R^, que la série est convergente; si, pour des valeurs données de a et de A, cette série est divergente, il est inutile de pousser la discussion plus loin : on peut affirmer que R/i ne tend pas vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.

49. Développement de log(i-|-^). — La fonction log(i + j:) est continue, et la suite de ses dérivées est illimitée, pourvu que x soit supérieur à — i . Ces dérivées successives ont pour expressions

Nous nous proposons d'examiner pour quelles valeurs de ^ on a le droit d'appliquer à cette fonction la formule de Maclaurin (8). En écrivant d'abord la formule sous sa forme générale, avec un terme complémentaire, on a

log(n-:r)= - — — -H-^- -+-... -H (-i)«-i — -i-R«.

Le reste R^ ne peut tendre vers zéro que si la série X x^ x^ x^

est convergente, ce qui n'a lieu que pour des valeurs de x comprises entre — i et -|-i, la limite supérieure -4- i n'étant pas exclue; la variable x étant supposée comprise entre ces limites, G. 8

Il4 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

écrivons la valeur du reste sous la forme de Cauchy

'*~ 1.2. ../i (i-i-ba:/*-^» ~^ '^'* (n-Oar)«-^» '

ou encore

Supposons d'abord |^[<^i; le premier facteur x""^' tend vers

zéro; le second facteur r— est inférieur à l'unité, que x soit

positif ou négatif, car le numérateur est plus petit que le dénominateur. Le dernier facteur reste fini , car il est plus petit que j — •

Donc le reste R/j tend bien vers zéro, lorsque n augmente indéfiniment. La forme précédente du reste ne nous apprend rien pour :c == I, mais si l'on prend le reste sous la première forme, il devient ici

et il est évident que R« tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. L'examen du reste est inutile pour x = — i, puisque la série est alors divergente. On a donc, pour x compris entre — i et -+- 1,

(i3) log(i-+-a;)= - — — -^y —...-+- (-1)"-» — -h....

La formule s'applique encore pour :p = i , ce qui nous donne la relation curieuse

(.4) log» = ,i+'|+...-H(-.)'.-ii+....

La formule (i3), n'étant valable que pour des valeurs de x^ i,

ne permet pas de calculer les logarithmes des nombres entiers.

Changeons dans cette formule x en — x; la nouvelle formule

X a?' a?' a?" (i3y log(i — a?) = r-— ... ...

est encore valable pour les valeurs de x comprises entre — i et