I -har \ -f-i I

—' rr > OU X —

la formule précédente devient

loe(N-i-i) — logN = 2 -^r^ ^ - — r^ ; -h - — Tï : -+-... L

elTon a dans le second membre une série très rapidement convergenle, pourvu que le nombre N soit un peu grand.

Remarque, — Appliquons à la fonction log(i-+-a?) Ja formule générale (3) en faisant a = o, A = x, n = i, et prenant pour le reste la forme

de Lagrange, il vient

lOff (l-^ X) = X ; ;; ;

si dans cette formule on remplace x par l'inverse d'un nombre entier n, elle peut s'écrire

0/1 étant un facteur positif inférieur à l'unité. On déduit de là quelques conséquences intéressantes :

I* La série harmonique étant divergente, la somme

croît indéfiniment avec n, mais la différence

Sn— log/i tend vers une limite finie. Écrivons, en effet, cette différence

(.-lo6Î) + (l-logi) + ...4-(i-Jog^)+...

Il6 CHAPITRE 111. — FORMt'LE DE TATLOR, ETC.

log( iH — ) est'le terme général d'une série convergente, car Ton a,

d'après la formule précédente,