I. — POEMCLB ET SÉBIB DB TATLOE. — GiNÊRALlTÉS. II

silif; elle admet une suite illimitée de dérivées qui sont toutes des fonclioDS continues de x, lorsque i + x est positif, car elles ont une expression de même forme,

f<"\x) — /w(//i — i)...(m — Aï -hi)(i -4-ar)«*-'»,

Appliquons à celte fonction la formule générale (3), nous trouvons

pour que le reste R„ tende vers zéro lorsque le nombre n augmente indéfiniment, il faut d'abord que la série dont le terme

général est

soii convergente. Or le rapport d'un terme au précédent a pour valeur x, et tend vers — x lorsque n augmente indéfiniment. La série ne peut donc être convergente que si l'on a | j:| £ i . On exclut, bien entendu, le cas où m est un nombre entier positif, qui donne la formule élémentaire du binôme. Bornons-nous au cas où \x\<^ I ; pour prouver que le reste tend vers zéro, écrivons-le, en adoptant la forme de Cauclij,

K . /.. m(m — i).,.(ni — n) „,, , ,

le premier facteur — j:""^* tend vers zéro, comme

étant le terme général d'une série convergente; le facteur - r—

est plus petit que l'unité, enfin le dernier facteur (i + Ox)'""' est plus petit qu'une limite fixe. Si m — i >> o, on a en effet

(i-+-ô:c)'«-»< 2'«-i; si m — I <o, on a (i -4- 6t)'""* <(i — | j:|)'""'. On a donc, pour

Il8 . . CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

toute valeur de x comprise entre -^ i et -|-i, le développement

(If)) ^ ' I 1.2

m( m — \) . . ,(m — n-hi)

on examinera plus tard le cas oii x = ± i .

On peut encore démontrer de la même façon les formules suivantes

arcsina?

.3 ar»

rc lang:r

qui seront établies plus tard par une voie plus simple, et qui s'appliquent aux valeurs de x comprises entre — 1 et -}- 1 .

En dehors des exemples que nous venons de traiter, et de quelques autres, la discussion du reste offre de grandes difncultés, à cause de la complication croissante des dérivées successives. Il semblerait donc, d'après ce premier aperçu, que les applications de la formule de Taylor pour le développement d'une fonction en série doivent être très limitées. Une telle vue serait absolument inexacte, et ces développements jouent au contraire un rôle fondamental dans TAnaljse moderne. Mais, pour apprécier leur importance, il faut se placer à un autre point de vue, et étudier en ellesmêmes les propriétés des séries entières, sans se préoccuper de leur origine. C'est ce qui sera fait dans plusieurs des chapitres suivants.

Nous remarquerons seulement qu'une série

peut fort bien être convergente, sans représenter la fonction y(x)

qui lui a donné naissance; l'exemple suivant est dû à Cauchj.

Soit/(j:) = c •**; on a/'(;r) = — e *** et, d'une manière générale, la dérivée n'*™*^ est de la forme