I. — PORIIIILE ET SéniB DB TATLOR. -^ GÉNÉRALITÉS. 1 IÇ

P désignant un poljrnome. Toutes ces dérivées sont nulles )>our

x = Oj car le quotient de e *"* par une puissance positive quelconque de X tend vers zéro avec x; on peut écrire en effet

en posant 0:=: » etl'on sait que -^ augmente indéfiniment avec js,

aussi grand que soit m. Soit, d^aulre part, <f{x) une fonction à laquelle s'applique la formule (8)

I Posons ¥{x) = (p(x) -h e '* ; on a

F(o) = <p(o), F'(o) = <p'(o>, ..., Ft«Ho) = <p^'»Ko),

de sorte que le développement de F(t) par la formule de Maclaurin serait identique au précédent. La somme de la série que Ton obtient ainsi représente donc une fonction tout à fait différente de celle qui a donné naissance à celle série.

D'une façon générale, si deux fonctions/(x) et (p(ar) sont égales, ainsi que toutes leurs dérivées, pour a: = o, sans être identiques, il est clair qu'elles ne peuvent être toutes les deux développables en série parla formule de Maclaurin, puisque les coefficients du développement seraient les mêmes pour les deux fonctions.

51. Extension aux fonctions de plusieurs variables. — Soit, pour fixer les idées, to =y(x,^, z) une fonction de trois variables indépendantes; on se propose de développer/(x4-A,j^'4-A-, -3 4-/) suivant les puissances de A, A", /, en groupant ensemble les termes de même degré. Cauchy ramène ce problème à celui qui vient d'élre traité, par l'artifice suivant. Considérons x^ y, z, h, /r, / comme ajant des valeurs déterminées et posons

t désignant une variable auxiliaire. La fonction (f{t) ne dépend qne d'une variable indépendante /; si nous lui appliquons la formule