I20 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC

générale de Taylor, avec un reste, il vient

/n yn+1

cp(o), cp'(o), ... (p<''^(o) étant les valeurs de la fonction çp(^) et de ses dérivées pour ^ = o, et <p^"+*^(8f) étant la valeur de la dérivée (/i 4- i)^^™* pour la valeur 6^, 0 étant compris entre zéro et un. Or on peut considérer <p(/) comme une fonction composée de /, îp(^) =y(w, ç;, w\ les fonctions intermédiaires

u=x-\-hty V z=.y -\- kty w = z -^ It

étant des fonctions linéaires de t. D'après ce qu'on a remarqué antérieurement, l'expression de la différentielle d'ordre m, £/'*<p est la même que si w, p, w étaient des variables indépendantes; on a donc l'égalité symbolique

^ \0u ôç dw I \du dp dw /

qui pçut encore s'écrire, en divisant par dt"^j

Pour t= o, Uf ^, iv se réduisent respectivement à x, j>, >s, et l'égalité précédente devient, en employant toujours la même notation symbolique,

On a de même

x^ y^ 5, devant être remplacés, après le développement, par

resipectivement. En faisant maintenant ^ = i dans la formule (17), il vient