FOMMULE BT SERIE DE TAYLOR. — GENERALITES

le terme complémentaire ayant pour expression

Xsy, z devant être remplacés par x -{-^h, y -{-Hk^ z ^^l après le développement.

Celle formule (i8) esl entièrement analogue à la formule générale (3). Si pour des valeurs données de x, y^ 5, A, /r, /, le reste R« tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, on aura un développement en série de /{x 4- A, y -+- A*, 3 -i- /), tous les termes de celle série étant des polynômes homogènes en A, A*, /. Mais il est en général très difficile de reconnaître sur l'expression de R,i que ce reste tend vers zéro.

52. On peut tirer de la formule (i8) des conséquences analogues à celles que Ton déduit de la formule (3) dans le cas d'une seule variable indépendante. Par exemple, soh z =/{Xj y) l'équation d'une surface S ; si la fonction y*(»r,j') est continue ainsi que toutes ses dérivées partielles jusqu'à un certain ordre dans le voisinage d'un point (xo,yo)? ^" a> d'après la formule (i8),

fi^xo-^h, y^-^ A') = /(xoy yo) -^ ( h -/- -+-A--f )

i.'i \Oxo Oyo J

Si nous limitons le second membre à ses deux premiers termes, puis à ses Irois premiers termes, etc., nous avons les équations d'un plan, puis d'un paraboloïde, etc., qui diflèrent très peu de la surface considérée dans le voisinage du point (0*0, yo)- L-e plan n'est autre que le plan tangent, le paraboloïde est celui qui se rapproche le plus de la surface S parmi tous ceux qui sont représentés par une équation de la forme

z = Ax* -h i^xy -f- Gj^' -i- \\>x -\- lEy -f- F.

On se sert aussi de la formule (18) dans la recherche des valeurs limites des fonctions qui se présentent sous forme indéterminée. Soient /(x, y)^ ^{^1 y) fleux fonctions qui s'annulent à la fois pour x= a, y = by mais qui restent continues, ainsi que leurs dérivées partielles jusqu'à un certain ordre, dans le voisinage du point ir = a, y = b; proposons-nous de trouver la limite vers

laa CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOH, ETC.

laquelle tend le quotient

lorsque x et y tendent respectivement vers a et b. Nous supposerons d'abord que les quatre dérivées du premier ordre -p» ;tt» T^j -^ ne sont pas nulles à la fois; nous pouvons écrire

/(a -h h, b -^ k) <p(a -h hf b -t- k)

^(ja-^^'j-^^lâ-^^'')

e, s', Êi, t\ tendant vers zéro lorsque h et k tendent vers zéro. Lorsque le point (^, j>') tend vers (a, 6), h et k tendent vers

k zéro; nous supposerons que le rapport^ tend vers une limite a,

c'est-à-dire que le point (:r, y) décrit une courbe ayant une tangente au point (a, b). Divisons les deux termes du rapport précédent par k, nous voyons que la fraction i^" ^^ a pour limite

da àb

d^'^'' db

cette limite dépend en général de a, c'est-à-dire de la façon dont les variables ;r et^ tendent respectivement vers leurs limites a et 6. Pour que cette limite fût indépendante de a, il faudrait que l'on eût

df do df âo dâdb^ ~db da "^ "'

ce qui n'a pas lieu en général.

Si les quatre dérivées -> --r» y- y -^ sont nulles, on prendra les termes du second ordre dans la formule (i8), et l'on écrira

/(a^h,b-hk) __ J (f(a-hhy b-h k) ~ /d*ç)

m-')"'-<£''*-')"Htf.-'->'

e, e', e", e,, e'^, ej étant des quantités infîniment petites; a ajant