II. - POINTS SINGULIERS. - MAXIMA ET MINIMA

53. Points singuliers. — Lorsque les coordonnées (xq, yo) d'un point Mq d'une courbe plane C, représentée par Téquation P(^» y^ " - ^y n'annulent pas à la fois les deux dérivées par-

llelles -, -, on a vu plus haut (n" 22) que par ce point passe

une seule branche de courbe dont la tangente a pour équation

en représentant d une manière générale par - - - la valeur que prend la dérivée quand on y fait x == j^o^ .V =^^'o- Lorsqu'on

a a la lois — = ^— = o, le point {xq, yo) est un point singulier.

Nous supposerons que les trois dérivées partielles du second ordre ne sont pas nulles pour x =: Xq^ y -^J'oj que ces dérivées sont continues dans le voisinage de ce point, ainsi que les dérivées du troisième ordre. L'équation de la courbe C peut alors s'écrire

l 1.2.3 Ida; dy ^ J>,-0>->v

X tX y devant être remplacés dans les dérivées du troisième ordre par jTo-i- ô(-r — J?o) et ^o4- ô(jK — jKo) respectivement. On peut toujours admettre que la dérivée - -^ n'est pas nulle, car il suffit

de changer les axes de coordonnées pour être ramené à ce cas. En posant^ — yQ^=: t{x — jJo)^ dans l'équation (19), et divisant par

I'l4 CHAPITRE III. — FORMULE DB TATLOR, ETC.

{x — XqY^ il vient

àxl àxi^dyçi àyl ^

V{x — Xo^ t) désignant une fonction qui reste finie lorsque x tend vers Xfi, Cela posé, soient t^ et t^ les deux racines de l'équation

dxl àxQÔfQ dyl

si ces racines sont réelles, c'esl-à-dire si Ton a

\àxQdy^) ^ ~dxl ôyl' on peut encore écrire l'équation (20)

f^{t-t,){t-t^)^{x-Xç,)V = 0,

Pour :r = 0^0, l'équation admet les deux racines distinctes t= tty 1 = 1-2- Lorsque x tend vers Xqj l'équation admet deux racines tendant respectivement vers f| et t^] on le montre en reprenant le raisonnement dont on s'est servi pour établir l'existence des fonctions implicites. Posons, par exemple, ^=f«-f-w, et écrivons l'équation entre x et u

u(ti — /j-h u)-h(X'- Xo)Q(x, m) — o,

Q(^, //) étant fini lorsque x tend vers Xo et u vers zéro. Supposons, pour fixer les idées, ti — /a > o, et désignons par M une limite supérieure du module de Q(-c, u) et par m une limite inférieure de ti — l2-h Uj lorsque x varie de Xq — h àxo-{- hel ude — A à 4- /i, h étant un nombre positif inférieur à ^1 — Z^- Soient maintenant £ un nombre positif plus petit que A, et r, un autre nombre positif satisfaisant aux deux inégalités

Si nous remplaçons x dans l'équation précédente par une valeur telle que \x — Xo | soit inférieur à v) , les résultats de la substitution de — e et de H- £ à la place de u sont de signes différents; cette équation admet donc une racine tendant vers zéro lorsque x tend Ters Xo, et par suite l'équation (19) admet pour racine une expres-