II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA. laS

sioD de la forme

a étant infinimenl pelit avec x — Xq, Par le point (Xo, J'o) il passe donc une branche de la courbe C tangente à la droite

r — ro -^ tiiX — Xo),

On verrait de la même façon qu'il passe aussi par ce point une branche de courbe tangent^ à la droite y — Vq = ^2(a• — Xq), Le point Mo est un point double, et l'on obtient Téquation du système des tangentes à ce point double en (égalant à zéro Tensemble des termes du second degré en (x — Xo)^ (y — j'o)? dans l'équation (19).

^^''^*l"^(dï7^/ ~^ ^<o, lepoint(xo,yo)estun/?om/ double isolé. A l'intérieur d'un cercle de ravon assez petit décrit du point Mo comme centre, le premier membre ¥(x,y) de l'équation (ic)) ne s'annule que pour le point Mo lui-même. Posons, en effet, pour les coordonnées d'un point voisin de Mo,

il vient

L ayant une valeur flnie lorsque p tend vers zéro. Soit H une limite supérieure de la valeur absolue de L, lorsque p est inférieur à un nombre positif r. Lorsque '^ varie de o à 27:, le trinôme

— -r-cos*ç -4- 2 ■ — cos'i sino ~ r^ sin*o

dxl ^ dxo Ojq ' • Orl

conserve un signe constant, puisque ses racines sont imaginaires; soit m une limite inférieure de sa valeur absolue. Pour tout point

pris à l'intérieur d'un cercle de rayon p <^ , il est clair (jue le

coefficient de p^ ne peut s'annuler; rt'M|ualion F(.r, j^- ) -= o n'admet donc pas d'autre solution que p =^ o, c'esl-ù-Jire x r- Xq^ y=yQ^ à l'intérieur de ce cercle.

Lorsque l'on a

\àx^iOyo/ " 'dj'l Ojl '

les deux tangentes au point double sont venues se confondre, et

l«26 CHAPITRE III. — FORMULE DE TATLOR, ETC.

il y a en général deux branches de courbe tangentes à une même droite, et formant un rebroussement. L'étude complète de ce cas exige une discussion très délicate qui sera faite plus lard. Observons seulement que la variété des cas possibles pour la forme de la courbe est beaucoup plus grande que dans les deux cas déjà examinés, comme le montrent les exemples suivants.

La courbe y^^=^ x^ présente à l'origine un point de rebroussement de première espèce, avec deux branches de courbe tangentes à Taxe des Xy situées de part et d'autre de celte tangente, et à droite de Oy, La courbe y^ — ix^y -f- a;* — a:* = o présente un rebroussement àe seconde espèce; les deux branches de courbe tangentes à l'axe des x sont situées du même côté de la tangente. L'équation nous donne, en effet,

et les deux valeurs de y sont de même signe lorsque x est très petit, mais ne sont réelles que si x est positif. La courbe

iC* -f- x^y^ — ^x^y -4- j^* r= o

présente deux branches de courbe n'offrant rien de particulier, tangentes l'une et l'autre à l'origine à l'axe des x» On tire, en effet, de cette équation

'ix^-^x'^^^ — xî

et les branches obtenues en prenant successivement les deux signes

devant le radical n'ont aucune singularité à l'origine.

Il peut aussi se faire que la courbe se compose de deux branches

confondues, comme c'est le cas pour la courbe représentée par

l'équation

F (Xj y) — y^— ix^y -h x^ = o;

lorsque le point (x^y) se meut dans le plan, le premier membre F{x^y) s'annule sans changer de signe.

Enfin, il peut aussi arriver que le point (xo^yo) soit un point double isolé ; c'est ce qui arrive pour la courbe j^^ 4- x* -h y* = o, dont l'origine est un point double isolé.

54* Un point Mo d'une surface S représentée par l'équation F{Xj y, z)=zo est de même un point singulier de cette surface si