II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA. VAJ

les coordonnées x^, y^y ^o ^^ ^^ point annulent les trois dérivées

du premier ordre

dF ॠâF

,- =o, -— — o, - - =o; àxo àjr^ OZo

Téqaation trouvée plus haut pour le plan tangent (n®22) se réduit à une identité. Le lieu des tangentes à toutes les courbes situées sur la surface S, et passant au point Mo, est un cône du second degré, pourvu que les six dérivées partielles du second ordre ne soient pas toutes nulles au même point. Soient, en eflet,

les équations d*une courbe C située sur la surface S ; les trois fonctions/(/), ç(^), •}(^) vérifiant la relation F(vr, y, z) = o^ on a entre les difierentielles du premier et du second ordre les deux

relations

^F , dF . ÔF .

- ax -¥■ - dv -^ - dz = o, ôx dy -^ ôz

(à? , ôF , ÔF , \'«' dF ., dF ,, dF ,,

\dx dy -^ dz j dx dy ^ dz

Pour:r = oto, jK=^'o> ^ = ^0, la première se réduit à une identité, et la seconde devient

■T-r dx* -+- -j—i dy* -J- - - dz*

dxl dyl -^ dz%

-r- 1 - — - — dxdy -i- 2 -: — -— dy dz -h % - — -— dx dz = o. dxo dyQ *^ dyQ dz^ dxo dzo

On aura le lieu des tangentes en éliminant dx, dy, dz entre cette relation et les équations de la tangente

X — Xq ^ Y — yo Z — Zo dx ~~ dy ~ dz

ce quj conduit à Téquation d'un cône (T) du second degré

D'autre part, Téquation de la surface S peut s'écrire, en appli-