CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC

quant la formule générale de Tajlor et poussant le développement jusqu'aux termes du troisième ordre,

\ So-l-OiS— -»»i

j^oj >^07 ^0 devant être remplacés dans les dérivées du troisième ordre par j^o 4- 0(j; — Xo), yo-\-^{y —yo), Zo-h^{z — Zo). On obtient Téquation du cône précédent(T) en prenant seulement les termes du second degré en j: — Xo, y — jKoi ^ — ^0 dans l'équation (22).

Cela posé, supposons d'abord que l'équation (21) représente un cône réel. Coupons la surface S et le cône (ï) par un plan P passant par deux génératrices distinctes G, G' de ce cône. Pour avoir l'équation de la courbe d'intersection de la surface S par ce plan, on peut imaginer que l'on ait fait d'abord une transformation de coordonnées de façon que le plan P soit parallèle au plan des jcy^ et il suffit alors de faire z == Zq dans l'équation (22). On voit que le point Mo est pour cette courbe un point double a tangentes réelles; d'après ce que nous venons de voir, cette section se- composera de deux branches de courbe tangentes respectivement aux deux génératrices G, G'. L'aspect de la surface dans le voisinage du point Mo est donc analogue à l'aspect qu'offrent les deux nappes d'un cône du second degré dans le voisinage du sommet; d'où le nom de point conique que l'on donne aussi au point M©.

Lorsque l'équation (21) représente un cône imaginaire, le point Mo est un point singulier isolé de la surface S. On peut décrire de ce point comme centre une sphère de rayon assez petit pour que l'équation F{x, y, z) = 0 n'admette pas d'autre solution à l'intérieur que a: = Xq^ y ^^yoy ^ = ^o* Soient M un point de l'espace voisin du point Mo, p la distance MMo, a, j3, y les cosinus directeurs de la droite Mo M. Si l'on pose

F(x, j^, z) devient