II. — POINTS SINGULIERS. - MAXIMA ET MINIMA. I

le fadeur L conservant une valeur finie lorsque p tend vers zéro. Puisque l'équation (ai) représente un cône imaginaire, le po- Ivnome

Ox* Oxq Ozq •

ne peut s^annuler lorsque le point a, ^, y décrit la sphère

désignons par m une limite inférieure de la valeur absolue de ce poljnome. Soit, d'autre part, H une limite supérieure de la valeur absolue de L dans le voisinage du point M©. Si du point M© comme

centre avec un rajon moindre que vr- nous décrivons une sphère, il

est clair que le coefficient de p^ dans l'expression de F(x.y, 2 » ne peut s'annuler à l'intérieur de cette sphère. L'équation

n^admet donc pas d'autre solution que p ^^ o.

Lorsque l'équation (21) représente un système de deux plans réels et distincts, il passe par le point Mo deux nappes de surface dont chacune est tangente à l'un de ces plans. Certaines surfaces présentent une ligne de points doubles où le cône des tangentes se décompose en deux plans. Cette ligne est une courbe double de la surface, suivant laquelle deux nappes distinctes se traversent mutuellement. Par exemple, le cercle représenté par les deux équations 5=^0, x'^-\-y'^-~ i est une ligne double de la surface qui a pour équation

5*— nz'^Kx'^-^y^) — (x^'^y^ — 1)' — o.

Lorsque l'équation (21) représente un système de deux plans imaginaires conjugués ou un plan double réel, il faut dans chaque cas particulier une discussion spéciale pour étudier la forme de la surface au voisinage du point Mo. La discussion que nous venons de faire se retrouve dans l'étude des maxima et des minima.

^> Maxima et minima des fonctions d'une variable. — Soient /(j^)uiie fonction continue dans un intervalle (a, 6), etc un point de cet intervalle. La fonction /{x) est maximum ou minimum

l3o CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

pour x^=c s\ l'on peut trouver un nombre positif ti assez petit pour que la différence /{c -{- h) — /{c) conserve un signe constant lorsque h varie de — r^ à -i-ri. Si. cette différence est positive, la fonction /{x) est plus petite pour x = c que pour les valeurs de x voisines de c; elle passe donc par un minimum. An contraire, lorsque la différence /(c -h A) —/{c) est négative, la fonction est mai^imum pour x =^ c.

Lorsque la fonction /{x) admet une dérivée pour la valeur c delà variable, cette dérivée doit ôtre nulle. En effet, les deux quotients

h ' :=li '

qui ont la même limite f\c) lorsque h tend vers zéro, sont de signes différents; il faut donc que leur limite commune /"'(c) soit nulle. Inversement, soit c une racine de Féquation /'(j;) = o, comprise entre a et 6; supposons, pour prendre le cas général, que la première dérivée qui n'est pas nulle pour x = c est la dérivée d'ordre /i, et que cette dérivée est continue dans le voisinage de la valeur c. La formule générale de Taylor donne ici, en se limitant au terme de degré n,

fie ^ h)-f{c) = ^ ^" ^ f^n)(c -^ 6A),

ce qui peut encore s'écrire

e étant infiniment petit avec A. Soit ri un nombre positif tel que x variant de c — tj à c H- t^, la valeur absolue de t soit moindre que \f^^^{c)\', pour ces valeurs de x, /^"^{c) -f- e a le même signe que/^''^(c) et, par suite, /(c 4- A) —/(c) a le signe de A«/^"^(c). Si n est impair, on voit que cette différence change de signe avec h; il n'y a ni maximum ni minimum pour a? = c. Si n est pair, /{c-hh) — /(c) a le même signe que /^"^(c), que h soit positif ou négatif; la fonction est minimum si /^"^ (c) est positif, et maximum si f^'^^{c) est négatif. En résumé, pour que la fonction soit maximum ou minimum pour ^ = c, il faut et il suffit que la première dérivée qui ne s'annule pas pour x =^ c soit d^ ordre pair.