II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA. l3l

En langage géométrique, les conditions précédentes signifient que la tangente à la courbe y=/(x) au point A d*abscisse c est parallèle à Oor, et, en outre, que le point A n'est pas un point

d'inflexion.

Remarques. — Lorsque les conditions dans lesquelles nous nous sommes placés ne sont pas réalisées, une fonction /(a:) peut être maximum ou minimum sans que la dérivée /'(a:) s'annule. Par exemple, si la dérivée est inCnie pour x = c, il suffit que celle dérivée change de signe pour que la fonction présente un -

maximum ou un minimum; ainsi la fonction^ = a:^est minimum

pourx = o, et la courbe correspondante présente un rebrousse-

mentà l'origine, avec l'axe des^ pour tangente.

Lorsque, d'après la nature de la question, la variable a: ne peut

prendre que les valeurs comprises entre deux limites a et 6, il

peut se faire que ces valeurs limites donnent les maxima ou les

minima absolus de la fonction /(^), sans que la dérivée /'(or)

soit nulle. Supposons, pour prendre un exemple, que l'on cherche

la plus courte distance d'un point fixe P de coordonnées (a, o)

au cercle C qui a pour équation x^-i-y^ — R2=o. En prenant

pour variable indépendante l'abscisse^ d'un point M du cercle C,

on a

d- - PM =(x — ay-hy^ — x^-^y^— 'zax -+- aS

ou, en tenant compte de l'équation du cercle,

d^= R* -T- a* — lax.

L'application de la règle générale conduirait à chercher les racines de l'équation dérivée 2a = o, ce qui est absurde. Mais on s'explique cette contradiction apparente en observant que, d'après la nature de la question, la variable x ne peut varier qu'entre — R et -fR. Si a est positif, d^ est minimum pour a: = R, et maximum pour a: = — R.

56. Fonctions de deux variables. — Soit z ^=/(xj y) une fonction continue des deux variables x^ y^ lorsque le point M de coordonnées {Xj y) reste à l'intérieur d'une aire û, limitée par un contour C. On dit que cette fonction /(.r, y) est maximum ou

l32 CHAPITRE III. — FORMULE DE TATLOR, ETC.

minimum pour un point (xq, jKo) ^e Taire û lorsque l'on peut trouver un nombre positif yj tel que la différence

conser^^ un signe constant, pour tous les systèmes de valeurs des accroissements h et A*, moindres que tj en valeur absolue. Si Ton considère pour un moment y comme constant et égal à y^^ z devient une fonction de la seule variable x et, d'après le cas que nous venons d'étudier, la différence

ne peut conserver un signe constant pour les petites valeurs de h

que si la dérivée ^- est nulle pour x = Xqj y z^y^] on démontre

de la même façon que ces valeurs doivent aussi annuler^» de

sorte que les systèmes qui rendent la fonction /(:r,^) maximum ou minimum doivent être cherchés parmi les solutions des deux équations simultanées

àf àf

àx ày

Soit X = Xi^^y =jKo iinc solution de ces deux équations. Nous supposerons que les dérivées partielles du second ordre dey(a:, y^ sont continues dans le voisinage des valeurs x^^ y^ et ne sont pas toutes nulles pour ^ = :ro, j^=yo) et que les dérivées du troisième ordre existent. La formule de Taylor nous donne

= A^o -^ h, yo -4- A) — /(a7o, 70)

àx àyjy^^u

pour les valeurs de h et de k^ voisines de zéro, c'est évidemment

le trinôme

A- ^"^ ! zhk ^"^ ; k^ ^"-f dxl âxo âyo ày^

qui donne son signe au second membre, et l'on prévoit d'avance que la discussion du signe de ce trinôme va jouer un rôle prépondérant.