II. — irCTÉGRALBS DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQCES. l

nombres M/ sont plus grands que m ; ces sommes S ont donc une limite inférieure f. De même, les sommes 5, qui sont toutes plus petites que M(6 — a), ont une limite supérieure V. Nous allons montrer que I' est au plus égal à i. Il suffit évidemment pour cela de montrer qu'étant donnés deux modes de subdivision quelconques de rintervalle (a, 6), auxquels correspondent respectivement les sommes S et 5, S' et 5', on a 5 <! S', s' <^ S.

Supposons d'abord qu'on subdivise chacun des intervalles (a, :ri), (ji, j-j)? • . . en intervalles plus petits par de nouveaux points de division et soit

la nouvelle suite obtenue; le nouveau mode de subdivision est dil consécutif zw premier. Désignons par 2 et t les sommes analogues a S et à 5 relatives à celte nouvelle division de (^, b) et comparons S et S, 5 et <t. Comparons, par exemple, les portions des deux sommes S et 2 qui proviennent de l'inlervalle (a, X|). Soient M'^ et m\ les limites de /{x) dans l'intervalle (a, >«)» ^K et m'j les limites dans l'intervalle (^i , ^2)1 . . . , MJt et m]^ les limites dans rintervalle (jTa-u ^0- ^^ portion de 2 qui provient de (a, Xt) est donc égale à

cl, comme les nombres M', , M^, . . . , M]^ ne peuvent dépasser M,, il esl clair que la somme précédente est au plus égale à M| (xi — a); de même, la portion de 2 qui provient de l'intervalle (jC|, X2) est au plus égale à M2(a:2 — :ri), et ainsi de suite. En ajoutant toutes ces inégalités, on trouve 2^ S, et l'on verrait de même que l'on a(T>5.

Considérons maintenant deux modes de subdivision tout à fait quelconques, auxquels correspondent les sommes S et s, S' et s'. En superposant les points de division des deux subdivisions précédentes, on obtient un troisième mode de subdivision qui peut être considéré comme consécutif à chacun des premiers. Soient 2 eiff les sommes relatives à cette division auxiliaire. D'après ce que nous venons de voir, on a les inégalités

2^S, a^.s, SIS', a>5';

l66 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DEFINIES.

comme S est supérieur à <t, on en conclul que l'on a y < S, 5 -< S'. Toutes les sommes S étant supérieures aux sommes 5, la limite I ne peut être inférieure à la limite F; donc on a 151'.

7:2. Fonctions intégrables. — Une fonction finie dans un intervalle (a, b) est dite intégrable dans cet intervalle, si les deux sommes S et 5 tendent vers une limite commune lorsque le nombre des intervalles partiels augmente indéfiniment, de façon que chacun de ces intervalles partiels tende vers zéro.

Pour qu!une fonction soit intégrable dans un intervalle (a, 6), il faut et il suffit qu^à tout nombre positif t on puisse faire correspondre un autre nombre positif i\ tel que S — ^ soit inférieur à e, lorsque tous les interçalles partiets sont moindres que Ti.

La condition est nécessaire. Si S et 5 ont une limite commune I, on peut trouver un nombre vj assez petit pour que |S — I|

et \s — I| soient inférieurs à - lorsque tous les intervalles partiels

sont moindres que r^, On aura a fortiori S — 5 <^ e. La condition est suffisante. On peut écrire, en effet,

S — s = S — I -4- I — Th- r- 5;

aucun des nombres S — I, I — I', F — 5 ne peut être négatif; pour que leur somme soit inférieure à e, il faut que chacun d'eux soit moindre que e. Or I — F est un nombre fixe, positif ou nul. e un nombre positif arbitraire; il faut donc que l'on ait F= L II faut de plus que l'on ait S — !<£, I — -y<£, lorsque tous les intervalles partiels sont moindres que t„ ce qui revient à dire que les sommes S et 5 ont une limite commune L

La fonction /(^) est dite alors intégrable dans l'intervalle (a, 6); la limite I s'appelle une intégrale définie et se représente par le symbole

\=ff{x)dx,

qui rappelle son origine, et qui se lit somme de a k b def{x) dx. D'après sa définition même, I est toujours comprise entre les deux sommes S et 5, correspondant à un mode quelconque de subdivi-