II. — INTÉGRALES DEFINIES. — NOTIONS GBOMBTRIQUBS

sien; en prenant pour valeur approchée de I un nombre quelconque compris entre S et s, Terreur commise est plus petite

que S — 5.

Toute fonction continue est intégrable. — La différence S — s est, en effet, plus petite ou au plus égale à (6 — a) w, en désignant para) une limite supérieure de Toscillation de /(x) dans chaque intervalle partiel. Or on peut choisir un nombre tj tel que Toscillation soit moindre qu'un nombre positif donné dans tout intervalle inférieur à tj (n® 70). Si Ton choisit tj de façon que l'os-

cillation soit plus petite que , * la différence S — s sera inférieure à e.

Une fonction qui Ji^ est jamais décroissante, ou jamais croissanté dans un intervalle, est intégrable dans cet intervalle.

On dit qu'une fonction n'est jamais décroissante dans un intervalle (a, b) si Ton a pour deux valeurs quelconques x' ^ x" de cet intervalle /(j/)^/(^") lorsque x'>x". La fonction peut conserver une valeur constante dan^ certaines portions de Tintervalle, mais, si elle ne reste pas constante, elle va en croissant. Partageons Tintervalle (a, b) en n intervalles partiels inférieurs à t) ; on peut écrire

* =/(«) (^1 — «) -»-/(^l )(^î— ^t ) -f. . . -^-/(a?rt-l ){b — Xn-x ).

En effet, la limite supérieure dans l'intervalle (a, ^,), par exemple, est égale ày(xi), et la limite inférieure égale à / a), et (le même pour les autres. On tire de là

S~, = (ar,-a)r/(a.,)-/(a)]

toutes les différences qui figurent au second membre sont des nombres positifs, et toutes les différences Xx — a^ x^ — ;r,, . . ., sont inférieures à 7\. On a donc

c'esl-à-dire

l68 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

suffira de prendre

pour que Ton ait S — 5 < e. On raisonne de même pour une fonction qui n^est jamais croissante.

Revenons au cas général. On peut remplacer, dans la définition de rintégrale, les sommes S et 5 par une expression plus générale. Étant donnée une subdivision de Tintervalle (a, b)

soient ii , Çj, . . • , Si? • • • , des valeurs appartenant respectivement à ces intervalles. La somme

/(Ç,)(Xl-a)-h/(JO(^î-^l)-+-••.-^-/(U)(^-^«-l) 1 = 1

est évidemment comprise entre les sommes S et 5, car on a toujours 'W/=/(ii) = M/; si la fonction est intégrable, cette somme a aussi pour limite I. En particulier, si Ton suppose que $i, Ça, . . ., 5,, coïncident respectivement avec a, ^i, ..., Xn-ty on retrouve la somme (i), considérée plus haut (n** 65).

De la définition de l'intégrale résultent immédiatement quelques conséquences. On a supposé dans le raisonnement a <C b\ si l'on échange les deux limites a et 6, tous les facteurs Xi — Xi t sont changés de signe, et la limite elle-même est changée de signe; on a donc

J /(x)dx = — r f{x)dx.

Il résulte aussi de la définition que l'on a

f f{x)dx= f /(x)dx^ f /(x)dx;

*^a Ja ^c

si c est compris entre a et 6, c'est évident. Si b est compris entre a et c, par exemple, la formule subsiste encore pourvu que la fonction f{x) soit intégrable entre a et c, car on peut l'écrire

Ç f{x)dx^ f /(x)dx'- f /{x)dx= f /(x)dX'^ f f{x)dx.

*/« Ja ^c ^a ^b