II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES
Si Ton a /(j:) = Aîp(j?)-t- B'i(ar), AetB étant deux constantes quelconques, on a aussi
Xf{x)dx — Aj o(x)dx-hB j ^{x)dx,
et il en serait de même pour la somme d'un nombre quelconque de fonctions.
73. Théorème de M. Darboux. — Étant donnée une fonction finie quelconque /(âr) dans l*inter\alle (a, 6), les sommes S et 1 tendent respectivement vers I et \\ lorsque tous les intervalles partiels tendent vers zéro, leur nombre croissant indéHniment. Démontrons-le pour les sommes S, par exemple. Nous supposerons que Ton a a < 6, et que la fonction /(j7)esi positive dans l'intervalle (a, b)\ on peut toujours réaliser cette condition en ajoutant une constante convenable à la fonction f{x)y ce qui revient à augmenter toutes les sommes S d'une quantité constante. Cela posé, le nombre I étant la limite inférieure des sommes S, on peut trouver un mode particulier de division, soit
a, a-,, xt, ..., Xj.-x, b,
pour lequel la somme S esl inférieure à I H — y e étant un nombre positif
donné à l'avance. Considérons maintenant une division de (a, 6) en intervalles moindres que t,, et cherchons une limite supérieure de la somme S' correspondante. Prenons d'une part les intervalles ne renfermant aucun des points a?i, p?i, . . . , Xp-x\ en se reportant au raisonnement du n* 71, on voit qu'ils fournissent dan's la somme S' une portion inférieure à la somme S
primitive, c'est-à-dire à I -1 — • D'autre part, le nombre des intervalles
qui renferment quelqu'un des points X\^ J7j, ..., Xp-u ne peut dépasser
/? — I, et, en désignant par M la limite supérieure de/(-r), ils fournissent
dans la somme S' une part qui ne peut dépasser (/? — i)Mtj. On a donc
S'<l4-î-h(y,-,)Mr„
et il suffira de choisir 71 inférieur à — r-^- pour que la somme S' soit
inférieure à I -+- e.
On démontre de même que les sommes s ont pour limite T. Si la fonction/(x) est quelconque, ces deux limites I et 1' sont différentes. Pour que la fonction soit intégrable, il faut et il suffit que l'on ait 1'= I.
74. Formule de la moyenne. — Nous supposerons désormais, à moins de mention expresse, que les fonctions sous le signe d'intégration sont continues.
170 CHAPITRB IV. — INTÉGRALBS DÉFINIES.
Soient f{x) el ^{x) deux fonctions continues dans l'intervalle (a, 6), dont l'une ^{x) conserve le même signe entre aelb\ nous supposerons, pour fixer les idées, a < 6 et ^{x) > o.
Imaginons une division de {a, b) en intervalles plus petits, et soient ^d ^29 • • • > ^ô • • - ? ^^^ valeurs appartenant à chacun de ces intervalles respectivement. Tous les nombres /(Ç/) sont compris entre les limites M et m de/(^) dans l'intervalle (a, b)
ml/(î/)lM.
Multiplions toutes ces doubles inégalités par les facteurs
qui, par hypothèse, sont tous positifs et ajoutons; on voit que la somme S/(Ç/) ^{\i){xi — xu\) est comprise entre les deux sommes mll^{\i){xi— Xi^) et MSç (Ç/)(a:i — ^/i). Le nombre des intervalles partiels augmentant indéfiniment, on a donc à la limite
m i ^{x)dx< I /(x)tf{x)dx <M j t^{x)dx, ce qui peut s'écrire
\ f{x)^{x)dx=\L 1 ff(x)dx,
jx étant compris entre m et M. La fonction f{x) étant continue prend la valeur (jl pour une valeur Ç comprise entre a et 6, et l'on a encore
(3) f f(x)^{x)dx=/a) f ^{x)dx,
\ étant compris entre a et 6. Si en particulier on suppose ç(^) = i , f dx est, d'après la définition même, égale à (6 — a),
et il reste
(4) f Ax)dx = {b^a)/(l.
75. Seconde formule de la moyenne. — On doit à M. Bonnet une autre formule qu'il a déduite d'un lemme important dû à Abel.
Lemme. — Soient 60, ^i, ..., ^p m'* nombre quelconque de quantités
