II. — 1NTÉGIIALE8 DEFINIES. — NOTIONS GéOMBTBIQVES. 17I
positives décroissantes j et u©, Mi, . . ., Up un même nombre de quantités positives ou négatives quelconques. Si toutes les sommes So= Uot Si=Ui,-hUiy ..., 5p= Uo-+- «I-+-. . .H- Wp sont comprises entre deux nombres A et B y la somme
S = eo Mo -+- «1 Wi -+-•••-+- *p Wp
sera comprise entre Ae© et Bêq.
On peut écrire, en effet,
Uq= Soy Ui= Si — ioi •••» Up=Sp — Sp^i\
la somme S est donc égale à
«o(eo— ti) -H 5|( e, — s,) -h . . . -+- Sp^i ( ep-, — tp) -h Sptp.
Toutes les différences Cq— «i> Ei — ^j, ..., tp-i — tp étant positives, on aura deux limites pour S en reniplaçant 5©, 5i , ...,*/> P»** '^"^ limite supérieure À, puis par leur limite inférieure B. On trouve ainsi
S < A(eo — 61 -+-6|— Ei-H.. .-+- tp-i—tp-^tp) = Ae©.
et Ton voit de même que l'on a S > Bêq.
Cela posé, soient /{x) et ^(t) deux fonctions continues, la fonction ^{x) étant positive et décroissante lorsque x croit de a jusqu'à b.
L'intégrale / f(x)<f(x)dx est la limite de la somme
/(a) <p (a)(x,— a) -+-/(x,) «p (Xi){xi^xi) -+-...;
les nombres ^(a), f(^i), ...f étant positifs et décroissants, cette somme est, d'après le lemme précédent, comprise entre Aç(a) et Btp(a), A et B étant la plus grande et la plus petite des sommes
/(a)(ar,- a),
/(a)(X| — a)H-/(j?,)(a-, — ar,).
/(a)(Xi^ a) '^/(Xt)(Xi-' Xi) -h . , .-^/(Xn-i){b — Xn-i).
En passant à la limite, on voit que l'intégrale considérée est comprise entre A]tp(a) et Bicp(a), Ai et Bi désignant le maximum et le minimum de l'intégrale
/(x)dx,
lorsque c varie de a à 6. Comme cette intégrale est évidemment une fonction continue de sa limite supérieure c, on peut écrire
f /(x)ff(x)dx=^(a) f f(x)dx (a<i<b).
17a CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.
Lorsque la fonction 9{x) est décroissante, sans rester positive, entre a et b, on peut appliquer une formule plus générale due à Weierstrass. Posons en effet ^(x) = <p(6) -+- ^(x); la fonction «K^r) est positive et décroissante, et Ton peut lui appliquer la formule (5)
f /(x)^(x)dx = [^{a)--^(b)] f /(x)dx.
On en lire
f f^x)^{x)dxr=. f f{x)f^(b)dx + [<f{a)--o(b)] f /{x)dx,
OU
f /{x)o(x)dx = ^{a) f /{x)dx-^<f(b) f f{x)dx.
On a des formules analogues lorsque la fonction 9 (a:) est croissante.
76. Retour sur les fonctions primitives. — Nous pouvons maintenant donner une démonstration purement analytique du théorème fondamental. Soit /(^) une fonction continue; l'intégrale définie
où l'on regarde la limite a comme fixe, est une fonction de la limite supérieure x. Nous allons démonirer qu*e//e admet pour dérivée f{x). Nous avons en effet
Y{x-^h) — V{x)= f /(t)dt,
ou, en appliquant la formule de la moyenne (4)» F(x-4-A)-F(x) = V(0,
Ç étant compris entre x et x -\- h. Lorsque h tend vers zéro, /($) a pour limite /(a:); la fonction F{x) a donc pour dérivée y*(x). Toute autre fonction admettant la môme dérivée s'oblient en ajoutant à F(j:) une constante arbitraire C. Il existe une de ces fonctions, et une seule, prenant une valeur donnée à Tavance^o pour X = a; c'est la fonction
yo-
- rnt)cu.
