II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES

Lorsqu'il n^j a pas d'ambiguïlë à craindre, on met la même lettre x pour désigner la limite supérieure et la variable d'intégration, et Ton écrit / f{x)dx au lieu de / f{t)dt^ mais il

est bien évident qu'une intégrale définie ne dépend que des limites et de la fonction sous le signe d'intégration; la lettre qui désigne la variable d'intégration est absolument indiflTérente.

Toute fonction ayant pour dérivée /(^) est une intégrale indéfinie de/(x) et se représente par le symbole

jf{x)dœ.

OÙ Ton n'indique pas les limites. D'après ce qu'on vient de voir,

on a

Jf{x)dx=^J f{x)dx-^C,

Inversement, si l'on a obtenu par un moyen quelconque une fonction F(a:) admettant pour dérivée y (j:), on peut écrire

r /ix)dx= F(x)-+-C;

pour déterminer la constante C, il suffit d'observer que le premier membre est nul pour ^ = a. On doit donc prendre C := — F(^)> et l'on a la formule fondamentale

(6) r f{x)dx= F(.r)— F(a).

Remplaçons dans cette formule /(^) par ¥\x)\ il vient

F(^)-F(a)= f ¥\x)dx,

OU, en appliquant le théorème de la moyenne,

\ étant compris entre a et x. Nous retrouvons le théorème des accroissements finis, mais la démonstration est moins générale que la première (n" 8), car elle suppose la continuité de la dérivée F(a;).

Nous passerons en revue, dans le Chapitre suivant, les catégories les plus simples de fonctions dont on sait trouver une fonction primitive; nous indiquerons ici seulement quelques-unes de celles qui s'o&rent immédiatement :

A(a? — a)«da? = A ^^ ^^ h G (a-+-i?«£o),

A = A log(a? — a) -f- G,

1 cosxdx = siax -{- Cf j sinx cix = —cosx -h C^

gmx

emx dx = h G ( m ?x£ o ),

/dx ^ r dx , ^ = arc tâng^ ^- G, / , = arc sin a? -h G,

La formule fondamentale (6) a été établie en supposant la fonction/(a:) continue entre a et b. Si Ton n'a pas égard à cette condition, on peut être conduit à des conclusions paradoxales.

Ainsi, en prenant /(x) = -^> la formule (6) donne

le premier membre n*a de sens jusqu'ici que si a et 6 sont de même signe, tandis que le second membre a une valeur déterminée, alors même que a et 6 sont de signes difierents. Nous verrons plus tard l'explication de ce paradoxe, en étudiant les intégrales définies prises entre des limites imaginaires. La formule (6) donne de même

si /(a) et /(b) sont de signes contraires, /{x) s'annule entre a et 6, et les deux membres de l'égalité précédente n'ont jusqu'ici aucun sens pour nous. On verra de même plus tard la signification qu'il convient de lui attribuer.