H. — INTÉGRALES DEFIMES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES

manières, comme limite d^une somme de rectangles. On a vu, en effet, que l'intégrale déQnie I est aussi la limite de la somme

Ç,- étant une valeur quelconque de l'intervalle (^/«i, Xi). Or

représente l'aire d'un rectangle ayant pour base P||P| et pour hauteur l'ordonnée d'un point quelconque de l'arc Qi in/Q/. On peut remarquer aussi que l'intégrale définie I représente encore Taire, quelle que soit la position de l'arc ÂMB par rapport à Ox, pourvu que Ton adopte la convention faite plus haut (n° 67). Toute intégrale définie représentant une aire, le calcul d'une intégrale s'appelle une quadrature.

La notion d'aire une fois acquise d*une fa^^on bien précise, rien n'empéclie de s'en servir dans certains raisonnements, qu'elle rend presque intuitifs. Par exemple, il est évident que Taire précédente est comprise entre les deux rectangles qui auraient pour base commune la base AqBo et pour hauteurs respectives la plus grande et la plus petite des ordonnées de Tare AMB. Elle est donc égale à l'aire d'un rectangle ayant pour base AqBq et pour hauteur Tordonnée d'un point convenablement choisi sur Tare AMB; c'est le théorème de la moyenne.

79. Voici une autre remarque importante. Soity(:r) une fonction finie dans l'intervalle (a, 6), qui est discontinue de la façon suivante pour un nombre fini de valeurs entre a et b:

Fig. II.

Supposons que /{x) soit continue entre c et c -+- /'(A" > o), et que /(c4-e) tende vers une limite lorsque e tend vers zéro en restant positif; nous désignerons cette limite par /(c -ho); de

l8o CHAPITRE lY. — INTEGRALES DÉFINIES.

même, supposons f{x) continue entre c — Ar et c(A">o), et soit f{c — o) la limite vers laquelle tend /(c — e) lorsque e tend vers zéro par valeurs positives. Lorsque les deux limites f{c-\- o) et f{c — o) sont différentes, la fonction f{x) est discontinue pour X = c. On convient en général de prendre pour /{c) la valeur ^ [/(c 4- o) +/(c — o)]. Si la fonction /(^) présente un certain nombre de points de discontinuité de cette nature entre a et 6, elle est représentée graphiquement par plusieurs arcs de courbe distincts AC, CD, D'B. Soient, par exemple, c et ûf les abscisses des points de discontinuité. Nous poserons

Jj^b *%c t%d ^b

f /{x)dx=l /{T)c/x-h f /{x)dx-h I /{x)dx,

définition qui pourrait se justifier en se reportant au n" 72; géométriquement, cette intégrale définie représente Taire limitée par le contour ACG'DD'BBoAoA.

Si Ton remplace maintenant la limite supérieure b par une variable x^ l'intégrale définie

F(x)= Ç f{x)dx

est encore une fonction continue de x. En un point x^ où fi^x^ est continue, on a encore F'( -c) :=f[x). Pour un point de discontinuité, X = c par exemple, on a

/C-+-A f{x)dx = A/(c -+- e A), o < e < 1 ;

le rapport j- a pour limite /(c -+- o) ou f{c — o),

suivant que h est positif ou négatif. Nous avons là un exemple de fonction continue F(^) dont la dérivée présente deux valeurs distinctes pour certaines valeurs de la variable.

80. Longueur d'un arc de courbe. — Etant donné un arc de courbe AB, prenons sur cet arc un certain nombre de points intermédiaires /7i|, m^y . . . , //i/i i, et construisons la ligne polygonale Ami m^ . . . nin-s B, ayant pour sommets les différents points dans l'ordre où ils se succèdent quand on va de A en B.

Si le périmètre de cette ligne polygonale tend vers une limite