II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES. I

Lorsque /(x) se réduit à uae fonction rationnelle -^^ on peut calculer

rindice par des opérations élémentaires, sans connaître les racines de V. Il est clair qu'on peut supposer Vj premier avec V et de degré inférieur à V, car on ne change pas l'indice en retranchant un polynôme. Cela posé, imaginons la suite des divisions à effectuer pour trouver le plus grand commun diviseur entre V et Vj, en changeant chaque fois le signe du reste. On divise d'abord V par Vi, ce qui donne un quotient Qj et un reste — Vj; on divise ensuite Vi par Vj, ce qui donne un quotient Qj et un reste — V3, et ainsi de suite; on finira par arriver à un reste constant — V/t-^]. Les opérations donnent la suite d'égalités

V =V,Qi-V„ V, = V, Q, - V3,

et la suite de polynômes

jouit des propriétés essehtielles d'une suite de Sturm : i" deux polynômes consécutifs ne peuvent s'annuler en même temps, car on en déduirait de proche en proche que cette valeur de x doit annuler tous les autres polynômes, et en particulier Vn^i î 2** lorsqu'un des polynômes intermédiaires Vi, Vj, ..., V,t s'annule, le nombre des variations présenté par la suite (7) ne change pas, car, si V^ s'annule pour x = c, V^-i et Vr+i sont de signes contraires pour or = c. Il s'ensuit que le nombre des variations présentées par la suite (7) ne peut changer que lorsque x passe par

une racine de V = o. Si -^ passe de -h » à — œ, ce nombre augmente

Y d'une unité ; il diminue au contraire d'une unité, si -~ passe de — 00 à + 00.

L'indice est donc égal à la différence entre le nombre des variations de la suite (7) pour x = b el x ^= a,

78. Aire d'une courbe. — Nous pouvons maintenant donner une déRnition purement analytique de l'aire limitée par une courbe plane continue, l'aire du rectangle étant seule considérée comme connue. Nous n'avons pour cela qu'à traduire en langage géométrique les résultats du n^'TS. Soit /(x) une fonction continue dans rintervalle (a, 6); nous supposerons, pour fixer les idées, « <; 6, et /(j?) >> o dans cet intervalle. Considérons comme plus haut {Jlg' 9) la portion du plan limitée par le contour AiMBBqAo, composé du segment AqBo de l'axe des x, des droites AAq et BB© G. 12

iyS CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

parallèles à Oy, d^abscisses a et 6, et de Tare de courbe AMB qui a pour équation ^=/(x). Marquons sur AoB© un certain nombre de points de division P<, Pj, ..., P/i, P/, ... d'abscisses OTi, X2', .-M ^i-M ^i't ..«et par ces points menons des parallèles à Taxe des^, qui rencontrent Tare AMB aux points Qi, Q2, . . . , Q/M Qô ' . • respectivement. Cela fait, prenons en particulier la portion du plan limitée par leçon tour Q/iQ|P|P/|Q/<, et sur Tare Q/iQ/ marquons le point le plus haut et le point le plus bas, c'est-à-dire les points qui correspondent à la valeur maximum M/ et à la valeur minimum /w/ de /(^) dans l'intervalle (xi-ii ^i) (dans le cas de la figure, le point le plus bas coïncide avec Q/<)- Soit R/ Taire du rectangle P|< P/^/5/i construit sur la base P/< P/ avec la hauteur M/; soit de même /v l'aire du rectangle P/<P/yiQ/«« construit sur la base P||P|avec la hauteur nti. On a

et les résultats démontrés plus haut (n° 72) peuvent s'énoncer ainsi : quels que soient les points de division du segment AqBo, il existe un nombre déterminé I qui est inférieur à SR/ et supérieur à Jlf'iy et les deux sommes SR/, Sr/ ont pour limite I quand tous les intervalles partiels tels que P/.jP/ tendent vers zéro, leur nombre croissant indéfiniment. Nous dirons que cette limite commune I des deux sommes de rectangles SR/, 2r/ est l'aire de la portion du plan limitée par le contour AMBBoAqA. Cette aire

est donc égale à l'intégrale définie / /(^) dx.

Cette définition est bien d'accord avec Tidée vulgaire de Taire d'une courbe plane. En effet, ce qui résulte de plus clair de cette notion, malgré son peu de précision, c'est que Taire limitée parle contour P/|PiQ//i<Q/-iP/i est comprise entre les aires R/ et r, des deux rectangles P/< P|5,-5/< et Pi-iPi^^/Q/^n Taire totale limitée par le contour AMBBqAoA doit donc être une quantité comprise entre les deux sommes S R/ et S r/. Or l'intégrale définie l est la seule quantité ^jre qui soit constamment comprise entre ces deux sommes, quel que soit le mode de subdivision de AoBq, puisque c'est la limite commune de 2R| et de Sr/.

L'aire considérée peut encore être définie, d'une infinité de