II. ~ INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES. l8l

lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment, la longueur de chacun des côtés tendant vers zéro, cette limite est par définition la longueur de Varc AB.

Soient

les coordonnées rectangulaires d'un point de l'arc AB, exprimées au moyen d'un paramètre variable t'^ nous supposerons que, t variant de a à 6 (a<;6), les fonctions/, cp, 4 sont continues et admettent des dérivées du premier ordre continues, et que le point (a:, y^ z) décrit Tare AB en marchant constamment dans le même sens. Désignons par

a, f|, ^j, ..., ti-ii '/» •••» 'rt— ij ^»

les valeurs de t qui correspondent aux sommets de cette ligne polygonale ; le côté c/ a pour expression

ou, en appliquante formule des accroissements finis à:r/ — xu^^ .. .,

\h f[h ^i étant compris entre //| et ^/. Lorsque l'intervalle (^1-1, ti) est très petit, le radical diffère très peli de

pour trouver une limite de la différence, nous pouvons l'écrire

Or on a et, par suite,

Si donc on a choisi tous les intervalles assez petits pour que, dans chacun d'eux, l'oscillation des fonctions /'(^), f'(0> ^'{^)

soit moindre que r * on pourra écrire

l8a CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

OÙ

Le périmètre de la ligne polygonale est donc égal à

Le terme complémentaire Se/(^/ — ti-t) est inférieur en valeur absolue à sS(// — ^/-i), c'est-à-dire à e(6 — a); puisque e peut être rendu aussi petit qu'on le veut, pourvu que les intervalles soient assez petits, on en conclut que ce terme tend vers zéro, et la longueur S de l'arc AB est égale à l'intégrale déGnie

(8) S= / )//'*-^^'t-h'Y^dt.

La définition précédente s'étend aussi au cas où les dérivées/*, f', tj/' seraient discontinues en un nombre fini de points de l'arc AB; ce qui arriverait si la courbe présentait des points anguleux. Il suffirait de partager l'arc AB en plusieurs autres, pour chacun desquels/', o', •]/' seraient continues.

De la formule (8) on déduit que l'arc compris entre un point fixe A et un point variable M, correspondant à la valeur t du paramètre, est une fonction de t ayant pour dérivée

en élevant au carré les deux membres et multipliant par dC^^ il vient

(9) 6^S« = dx^-^ dy^-¥- dz^,

formule qui a lieu, quelle que soit la variable indépendante. On peut la retenir aisément, d'après sa signification géométrique; elle exprime que c/S est la diagonale d'un parallélépipède rectangle dont rfx, dy^ dz sont les trois arêtes.

Remarque, — En appliquant la formule de la moyenne à l'intégrale définie qui représente l'arc MqMi, dont les extrémités correspondent aux valeurs /qi ^i d" paramètre (/| > /©), on a

s = arc Mo Ml = (/, — t^) //''(O) -h ç>'»(,0) -^ ^^'«(6), 8 étant compris dans l'intervalle (toy ti). On a de même, en dési-