c<e(/,— fo

Si l'arc Mo M) devient infiniment petit, t, — <o lend vers zéro;

il en est de même de e et, par suite, de i • Donc le rapport d'un

arc infiniment petit à sa corde a pour limite l'unité.

Exemple, — Soit à trouver l'arc d'une courbe plane donnée par son équation en coordonnées polaires p =/((o). En prenant a> pour variable indépendante, la courbe est représentée parles trois équations j; = p cos co, j^ = p sin o), c = o, d'où Ton tire

rf*«= ctr'H- a[)^* = (cos(i) dp — p sinto û?o))'H-(sinci)<ip -^- p cosu) c?(i))*,

ou, en réduisant,

ds^ = rfp* -+- p* û^o)'.

Prenons, par exemple, la cardioïde représentée par l'équation

p = R -H R costo.

La formule précédente donne

ds^= R*</co«[sin*(ji)H-(i H- cosu))^] = 4R»cos*- û?a>*;

si nous faisons varier o) de o à tc seulement, on en déduit

ûfe = aR cos— dm,

l84 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DKPIMES.

et la longueur d'un arc a pour expression

La longueur totale est donc égale à 8R.

81. Cosinus directeurs. — Pour étudier les propriétés d'une courbe, on est souvent conduit à prendre l'arc pour variable indépendante. On adopte alors sur ta courbe considérée un sens de parcours positif, et l'on désigne par s la longueur de l'arc AM compris entre un point fixe A et un point quelconque M, affectée du signe H- ou du signe — , suivant que la direction de A en M est la direction positive ou la direction opposée. En un point quelconque M de cette courbe menons la direction de la tangente qui coïncide avec la direction des arcs croissants, et soient a, p, Y '^s angles que fait celte direction avec les directions positives de trois axes rectangulaires Ox^ Or, Os. On a

cosa cosp __ cosY , i ~ ' .

pour savoir le signe qui convient, supposons que la direction positive de la tangente fasse un angle aigu avec Ox] x et s croissent en même temps, on doit donc prendre le signe +. Si l'angle a est obtus, cosa est négatif, x diminue quand s augmente,

•-J- est négatif, il faut encore prendre le signe +. On a donc, dans

tous les cas,

. d.r o dy dz

(.o) <=«*« = -S' <=''*?= rfï' '"'^'< = W

dx^ dy^ dz^ ds étant les différentielles prises par rapport à la variable indépendante, qui peut être quelconque.

82. Variation d'un segment de droite. — Soit MM i un segment de droite dont les extrémités décrivent deux courbes G, Cj. Sur chacune des deux courbes adoptons un point pour origine et un sens positif de parcours.

Soient : s l'arc AM, s^ l'arc Aj M<, ces deux arcs étant pris avec un signe, /la longueur MM,, 6 l'angle de MM, avec la direction positive de la tangente MT, 0, l'angle de M, M avec la direction