II. — INTÉGRALES DEFIMES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES. l
positive de la tangente MjTi. Nous allons chercher une relation entre 8, 8j et les différentielles ds, ds^^ dl.
Appelons x^ y, s, ^m^i> ^i 'es coordonnées des points M, M|
dl
respectivement, a, p, y les angles de MT avec les axes, a^ j3|, v, les angles de Mi T| avec les axes. On a
on en déduit
idl = (x — xi){dx — dxi) -h (7 -yi){dy — rf^i) -^ (^ - Zi){dz — dz^\
ce qui peut s'écrire en tenant compte des formules (lo) et dés formules analogues pour C| ,
= { — -. — - côsa-4- - — j^— cosPh j — cosyjds
[Xy — X Y\ — Y o Zx~ z \ ,
-+-( — - — cosa,-+- j cospiH -, — cosYi l«*i-
Mais ^"T^S '^ "i y ^ "" ^' sont les cosinus directeurs de M, M, cl
le coefficient de ds est — cos9. De même, le coefficient de dsy est — cosOj et Ton obtient la relation cherchée
(lO)' rf/ = — ^5 COSO — </5iCOs6i,
dont nous ferons souvent des applications. Nous allons en indiquer une.
83. Théorèmes de Graves et de Chasles. — Soient E, E' deux ellipses homofocales ; d'un point M de l'ellipse extérieure £', on mène les deux tangentes MA, MB à l'ellipse E; la différence MA -t- MB — arc ANB reste constante lorsque le point M parcourt l'ellipse E',
l86 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.
Soient s et s' lesarcs OA et OB, a l*arc O'M, / et /' les longueurs AM et BM, 0 l'angle de MB avec la direction positive de la tangente MT; d'après les propriétés focales, l'angle de MA avec MT est égal aie — 6. En observant que AM coïncide avec la direction positive de la tangente en A et que BM est opposée à la direction positive de la tangente en B, la formule (lo)' donne successivement
dl = — ds -{-(i7 cosO,
dr = ds' — d7 cos 0, et, en ajoutant, il vient
dil-hl') = d(s'— s) = ^arcANB,
ce qui démontre la proposition énoncée.
Ce théorème est dû à un géomètre anglais, Graves. On démontre de la
même façon le théorème suivant, découvert par Chasies : Étant données une ellipse et une hyperbole homofocale se rencontrant en N, si d'un point M, pris sur la branche d'hyperbole qui passe au point N, on mène les deux tangentes MA, MB à l'ellipse, la différence des arcs NA — NB est égale à la différence des tangentes MA — MB.
