III. — CHANGEMENT DE VARIABLES. — INTÉGRATION PAR PARTIES

et p, et que ^ (/) varie toujours dans le même sens depuis a jusqu'à h lorsque t varie de a à ^.

L'intervalle (a, P) étant partagé en intervalles plus petits par des valeurs intermédiaires a, ^i, t^^ ..., ^«i, ^, soient a, X\^ x^^ ...,ar«i, b les valeurs correspondantes de a: = '^(^). On a, d'après le théorème des accroissements fmis,

xt— Xi-i ={ti^ t/-i) «p'(0|),

Oi étant compris entre ti i et ^,; soit Ç/=:cp(8/) la valeur correspondante de Xj qui est comprise entre Xi^ et xi. La somme

a pour limite l'intégrale définie considérée. Mais cette somme peut aussi s'écrire

et, sous celte forme, on reconnaît qu'elle a pour limite la nouvelle

intégrale définie / /[^(^)]'f'(i) dt. On a donc l'égalité

(II) f /{x)dx= f f{^{t)]^'it)dt,

qui constitue la formule du changement de variable. On voit qu'on obtient la nouvelle différentielle sous le signe d'intégration en remplaçant, dans y(x)c/a:, x et dx par leurs valeurs ^{t) et rù^{t)dtf tandis que les nouvelles limites sont les valeurs de t correspondant aux anciennes limites. En choisissant convenablement la fonction ©(/), il peut se faire que la nouvelle intégrale soit plus facile à calculer que la première, mais on ne saurait donner à cet égard de règles bien précises.

Soit, par exemple, à calculer l'intégrale définie

en posant x = ol-\- P^, il vient

r' dx \ r^ dt I / ^ a\

X (^T=-.>-Tp^ = p j ,7:^rt = P (arctang.-i-arctangpj

l88 CHAPITRR IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

OU, en revenant à la variable or,

g f arc tang— g h arc tangg j

Toutes les hypothèses qui ont été faites pour établir la formule (i i) ne sont pas indispensables. Ainsi il n'est pas nécessaire que la fonction ^ (^) varie toujours dans le même sens lorsque t varie de a à ^. Pour fixer les idées, supposons que t croissant de a à y(y < P)» 'f (0 ^^"® ^" croissant de a à c(c > 6), puis, que i croissant de y à p, (j)(^) décroisse de c à 6. Si la fonction /(j?) est continue dans Tintervaile (a, c), on peut appliquer la formule à chacun des intervalles (a, c), (c, i), ce qui donne

Ja ^a

en ajoutant ces deux égalités, il vient

f f(x)dx^ f f[o{t)]%\t)dt.

Par contre, il est nécessaire que la fonction (p(^) soit une fonction bien déterminée de t. Si Ton ne tient pas compte de cette condition, on peut être conduit à des résultats absurdes. Par

exemple, si à l'intégrale / dx on applique telle quelle la formule (i i) en posant x = /', on est conduit à écrire

/ dx = I - \J~t dt^

résultat qui est absurde, puisque la seconde intégrale est nulle. Pour appliquer correctement la formule, il faut partager l'intervalle ( — I, 4- i) en deux intervalles ( — i, o), (o, i). Dans le

premier intervalle, on posera ^ = — y/^', et l'on fera varier /

de I à o; dans le second intervalle, on posera x = \ft}^ et l'on fera