III. — CHANGEMENT DE VARIABLES. — INTÉGRATION PAR PARTIES

varier / de o à i. On trouve ainsi un résultat exact

Remarque, — Si Ton remplace, dans la formule (i i), les limites supérieures 6 et ^ par des limites variables x et t^ il vient

rf{x)dx= f f[o{t)]^'{t)dt',

ce qui montre qu'une fonction F(j;) dont la dérivée esiy(jc) se change, quand on pose a: = ç(/), en une fonction ^{t) dont la dérivée est/[ç(/)]y'(/). C'est aussi ce qui résulte immédiatement de la formule qui donne la dérivée d'une fonction de fonction. Nous pouvons donc écrire, d'une manière générale,

J Ax) dx = Jf[^{t)y^\t) dt;

c'est la formule du changement de variable dans les intégrales indéfinies.

85. Intégration par parties. — Soient u eii^ deux fonctions continues, ainsi que leurs dérivées u' et c'y entre a et b. On a

d{uv) dv du

dx dx dx

et, en intégrant les deux membres de cette égalité,

r^d{uv) , r^ dv , r^ du ,

I L L ^j. —. I u -, dx -^ I t» -,- dXj Ja dx j;, dx J^ dx

ce que l'on peut encore écrire

(12) / udv = [us?]%— I if du,

en désignant d'une façon générale par [F(x)]* la différence

Si l'on remplace la limite b par une limite variable .r, a restant fixe, ce qui revient à considérer les intégrales indéfinies au lieu

igo CHAPITRE IV. — INTEGHALES DÉFÎMES.

des intégrales définies, on a de même

(i3) judi^uv — I V du.

Le calcul de l'intégrale j udç est ainsi ramené au calcul de l'intégrale j vdu^ qui peut être plus facile. Soit, par exemple,

à calculer l'intégrale définie / x'^logxdx, [m-]-i^o); en

posant II = log.r, v = — ^ — > la formule ( i a) donne

/ iosx.x'^dx=\ ^^—\ / x'»dx

ni + i (A/i-hi)«J^'

La formule ne s'applique plus si m -f- i = o; on a, dans ce cas particulier,

La formule (12) peut être généralisée. Désignons par u\ m", ..., 2/^"+'\ i^', ^'", ..., (;^"+'J les dérivées successives des deux fonctions u et v. L'application de la formule (12) aux intégrales l udv^'^\ I u^dv^""^^, ..., conduit aux égalités suivantes

J^b ^b pb

' u'v^^^dx^ / u' dv^''-^^=^[u'v^''-'^^]%— j u'ç^^-i^dx,

En multipliant ces égalités par +1 et — i alternativement et ajoutant, il vient

(14) { ^^ pb

-t-(— 1)«+* / U^^^^^vdx,