III. — CHANGEMENT DE VARIABLES. — INTEGRATION PAR PARTIES. I9I

formule qui ramène le calcul de Flnlégrale / ui^^"^^^ dx au calcul

de riutégrale j u^'''^*^v dx.

Cette formule s'applique en particulier quand on a sous le signe d'intégration le produit d'un polynôme u de degré n au plus par la dérivée d'ordre (/i + i) d'une fonction connue <^; on a, en effet, tt^^+^^crro, et le second membre ne renferme plus aucun signe d'intégration. Soit^ par exemple, à calculer l'intégrale définie

où /{x) est un polynôme de degré n; on posera u=f{x),

v= :> et la formule (i4) donne, en mettant e^^ en facteur,

,.5, jrWw.^=j-[^' - -^^ -■-<-'■ -SI?]!:-

La même méthode, ou, ce qui revient au même, une suite d'intégrations par parties permet de calculer les intégrales défînies

cosmxf{x)dT, I sïnmx/(x)dx^

o\i/{x) est un polynôme.

86. Formule de Taylor. — Dans la formule (i4)î remplaçons u par une fonction F(^), continue ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre /iH- i , entre a et 6, et posons i> = (b — x)". On a

p'=— /i(6— a?)«-S p'= n{n—i){b—xy'-*y ...,

et la formule devient, en remarquant que v, v'. v"^ . . . , ç;^""*^ s'annulent pour x = 6,

On lire de là

F{b) = F(a) H- F'ia) -h. . .

*- ri

le facteur (6 — jc)" conservant un signe constant lorsque x varie Aq ak bj on peut appliquer la formule de la moyenne à Tintégrale du second membre, ce qui donne

Ç V^n-^^Hx){b'-xYdx=¥'^^'^^\^) f {b-^xydx

/i -hi ' ^ '

\ étant compris entre a et b* En substituant cette valeur dans Tégalité précédente, nous retrouvons précisément la formule de Taylor, avec la forme du reste de Lagrange.

87. Transcendance de e. — La formule (i5) permet de démontrer un théorème célèbre, découvert par M. Hermite : Le nombre e n*est racine d'aucune équation algébrique à coefficients entiers (*).

Faisons, dans la formule {i5), a = o, o) = — i; il vient

I e-'/ix)dx = -[e-'Fix)yi,

F(x) =/{x) -H/'(a;) H-. . .H-/(/.>(a:), ce que nous pouvons encore écrire

(16) F{b) = e**F{o) — eb j f{x)e-'dx.

Cela posé, admettons que e soit racine d'une équation algébrique à coefficients entiers

Co -h Cl e -h Cj e2 H- . . . -4- c,„ e'" = o.

Dans l'éj^alité précédenle (16), faisons successivement 6 = o, 1,2, ..., m, et ajoutons les formules obtenues, après les avoir multipliées respectivement ])ar Cq, Cl, ...; C/;,, il vient

{17) CoF(o) -H Cl F(^i) H-.. .H- c,;iF( m) H- Vc/e' / f{x)e-^dx = o.

(*) Cctle démonslration csl due à M. Duvid Hilbert, qui s'est inspiré de la mélliode suivie par M. Herniile.