III. — CHANGEMENT DE VARIABLES. — INTÉGRATION PAR PARTIES. IQS

l'indice i ne prenant que les valeurs enlières o, i, 2, ..., /n. Nous allons montrer qu'une telle relation est impossible, si le polynôme f{x), qui est resté arbitraire jusqu'ici) est convenablement choisi. Prenons

f(x) = r xP-^(x — i)P(x — ^)P . . .{x — ni)P,

p étant un nombre premier supérieur à m; ce polynôme est de degré mp -i-p — I , et, si l'on calcule ses dérivées successives, à partir de la jo'*"*, tous les coefGcients sont des nombres entiers divisibles par p, car le produit de p entiers consécutifs est divisible par/?! D'ailleurs /(x) s'annule, ainsi que ses (p — i) premières dérivées, pour x = 1, 2, . . ., /n; il s'ensuit que F(i), F(a), ..., F(/n) sont des nombres entiers divisibles par /?. Reste à calculer F(o)

F(o) =/(o) -H/'(o)-f.. . .^-/(p-»Ho) -^f^P^io) -H/(P-4-i)(o) -4-. . .;

on a d'abord /(o)=/'(o) = ... = /^/'-«Ko) = o, et /(p)(o),/(p+»^(o), ... sont des nombres entiers divisibles par p pour la même raison que tout à l'heure. Pour avoir /^/'-*^(o), il suffit de multiplier par (p — 1)! le coefficient de xP-^ dans/(ar), ce qui donne ±(1,2. ..m)P. La somme

CoF(o)-+-CiF(i)-^. ..-f-C;„F(/w)

est donc égale à un nombre entier divisible par/?, augmenté de

± Co(i.2. . . m)P]

si l'on a pris pour/? un nombre premier supérieur à m et à Coy ce dernier nombre ne pourra être divisible par /?, et la première partie de la somme (17) sera un nombre entier différent de zéro.

Nous allons montrer maintenant qu'en prenant pour p un nombre premier assez grand, la somme

peut être rendue plus petite que toute quantité donnée. Lorsque x varie de o à i, chaque facteur âe /(x) est plus petit que m; on a donc

Jf J(x)e-^dx < î r m^^P-^-P-^ 1 e-^dx< ' . m'»P^P-^,

et par suite

f{x)e-:^dx < M - -^ c» = o(/>),

M étanl une limite supérieure de |co| + |C] | +. . .+ |c,;i|. Lorsque p augmente indéfiniment, la fonction (p(/>) tend vers zéro, car c'est le terme général d'une série convergente, où le rapport d'un terme au précédent tend vers zéro. On peut donc trouver un nombre premier p assez grand pour que l'égalité (17) soit impossible; ce qui démontre le théorème de M. Hermite.

88. Polynômes de Legendre. — Proposons-nous de déterminer un polynôme de degré /i, P/|(â7), tel que l'intégrale

OÙ Q est un polynôme de degré inférieur à n, soit nulle, quel que soit ce polynôme Q. On peut considérer ?„ comme la dérivée /i''"** d'un polynôme R de degré 2/1, et ce polynôme R n'est pas complètement déterminé, car on peut lui ajouter un polynôme arbitraire de degré n — i, sans changer la dérivée /i'^"*. Nous pouvons donc toujours supposer que l'on a

rf«R Pfl = —T—^i le polynôme R s'annulant ainsi que ses (n — 1) premières

dérivées pour x = a. D'autre part, la formule d'intégration par parties nous donne

puisque l'on a, par hypothèse,

R(a) = o, R'(a)==o, .... Rî»-«K«) = o,

il faudra que l'on ait aussi, pour que l'intégrale soit nulle,

Q(6)Rt»-i)(6)-Q'(«>)R<»-»U^)-^---±Q^''"*H^)R(^) = o.

Le polynôme Q de degré n — i étant arbitraire, les quantités Q(A), Q'(6), ..., Qt^-^^ô) sont elles-mêmes arbitraires, et il faudra que l'on

ait aussi

R(«>) = o, R'(6) = o, ..., Rt«-«î(«>)=o.

Le polynôme R(â7) est donc égal, à un facteur constant près, au pro-> duit {x — a)«(a7 — 6)«, et le polynôme cherché P/, est complètement déminé, à un facteur constant près,

^n=0-^V<^-aY{x-bYl

Lorsque les limites a et 6 sont — i et -H f, les polynômes P« sont les polynômes de Legendre. En choisissant la constante G comme Legendre,