III. — CHANGEMENT DE VARIABLES. — INTÉGRATION PAR PARTIES. IQS

nous poserons

Si Ton convient en outre de poser Xo = i, on a

3a?«— I „ 5a?»— 3ar

Xq = I » X| =î a?, Xj ^ " j X3 ^ > • • •

Xa est un polynôme de degré n, où tous les exposants de x sont de même parité que n. La formule de Leibniz, qui donne la dérivée n'^™' d'un produit de deux facteurs, montre immédiatement que Ton a

D'après la propriété générale que nous venons d'établir, on a, ^(x) désignant un polynôme quelconque de degré inférieur à /i,

(10) 1 \n^{x)da: = o;

en particulier, si m et /i sont deux nombres entiers différents^ on a toujours

(21) I XfnXndx = o.

Cette formule permet d'établir très simplement une relation de récurrence entre trois polynômes X^ consécutifs. Observons d'abord que tout polynôme de degré n peut s'exprimer comme fonction linéaire à coefficients constants au moyen de Xq, X|, ..«, X|». Nous pouvons donc écrire

xXn = Co X/i+i -+- Cl X» ■+- Gj X/j-i -f- C3 Xji— f -H . . . ,

Co) Cl, Cs, ..., étant des coefficients constants. Pour déterminer Gt, par exemple, multiplions les deux membres de cette égalité par Xa-s et intégrons entre les limites — i et +1; il reste, en vertu des formules (ao)

et (ai),

Cs r XJ,cte = o,

et, par suite^ C3 = o. On démontrerait de même que Ton a C4 = o, Ci = o, .... Le coefficient Ci est nul aussi, puisque le produit ^fX^ ne renferme pas de terme en x'*. Enfin, pour déterminer Co et C], nous n'avons qu'à égaler les coefficients de rr'*+>, et à égaler les deux membres pour x=si. Nous obtenons ainsi la relation de récurrence

aa) (n -+- I)X„^.l — (a/i -f- i)a?X«-4- /iX„, = o,

qui permet de calculer très simplement les polynômes Xn de proche en proche.

La relation (22) montre que la suite des polynômes

(23) Xo, Xj, Xj, ..., X,|,

jouit des propriétés d'une suite de Sturm; x variant d'une manière continue de — I à -h I, le nombre des variations présentées par cette suite ne peut changer que lorsque x passe par une racine de X,4=o. Or, les formules (19) montrent que, pour x = — i, la suite (23) présente n variations, et n'en présente aucune pour x-=\. L'équation Xd = o a donc n racines réelles, comprises entre — i et -f-i; ce qui résulte aussi très facilement du théorème de Rolle.